(a) Sea $H$ un subgrupo normal de $G$. Si $H$ y $G/H$ son abelianos, ¿debería ser abeliano $G$?
Intento:: Existe un contraejemplo para esta afirmación, $G=D_3$ que no es abeliano.
Pero, ¿qué podría estar mal en este procedimiento?
$G/H = \{gH~\forall~g \in G\}$
$G/H$ es abeliano significa que $aH ~bH = bH ~aH$
ahora, $aH ~bH = H abH$ ya que $H$ es un subgrupo normal, lo cual será igual a $bH ~aH$ solo cuando $a$ y $b$ conmuten. Dado que $a,b$ representan los elementos generales de $G$, ¿no debería $G$ ser abeliano?
(b) Sea $G= Z_4 \oplus U(4)$, $H =\langle(2,3) \rangle , K=\langle (2,1) \rangle$. Demuestra que $G/H \not\approx G/K$
Intento: $G/H = \{g H ~\forall ~g \in G\} = (z_1+2 \mod 4, ~3~u_1 \mod 4)$
$G/K = \{g K ~\forall ~g \in G\} = (z_2+2 \mod 4,~ u_2 \mod 4)$
donde $z_1,z_2 \in Z_4, u_1,u_2 \in U(4)$
¿Cómo debo proceder a continuación?
Se agradecerá la ayuda. Gracias
