Álgebra sigma generada por el conjunto de todos los singletons

Question

Sea $S=\{\{x\}\mid x \in \mathbb{R}\}$. ¿Está incluida $\sigma(S)$ en la $\sigma$-álgebra de Borel en $\mathbb{R}$? ¿Es $\sigma(S)$ equivalente a la $\sigma$-álgebra de Borel en $\mathbb{R$?

Creo que la respuesta a la primera pregunta es sí. Debido a que los conjuntos de Borel incluyen singletons, la $\sigma$-álgebra de Borel debe contener la sigma-álgebra más pequeña del conjunto de todos los singletons.

Aquí está mi intento de responder a la segunda pregunta: mi respuesta sería no. Las uniones (o intersecciones) contables de conjuntos contables son contables, por lo que cualquier $X \in \sigma(S)$ es o bien contable o el complemento de un conjunto contable. Por lo tanto, el intervalo $(0,1) \not \in \sigma (S)$ pero está incluido en la $\sigma$-álgebra de Borel. Mi problema aquí es que no sé cómo formalizar esta afirmación, si es que es correcta.

Answer 1

Deje $$\mathscr C\equiv\{E\subseteq\mathbb R\,|\,E\text{ es numerable o }E^c\text{ es numerable}\}.$$ No es difícil comprobar que $\mathscr C$ es una $\sigma$-álgebra en $\mathbb R. Deje $\mathscr S$ denote la $\sigma$-álgebra generada por singletons.

$\textbf{Proposición:}\phantom{---}$$\mathscr C=\mathscr S$.

$\textit{Prueba:}\phantom{---}$ Claramente, $\{x\}\in\mathscr C$ para todo $x\in\mathbb R$, entonces $\mathscr S\subseteq\mathscr C$, ya que $\mathscr C$ es una $\sigma$-álgebra que contiene los singletons y $\mathscr S$ es, por definición, la más pequeña $\sigma$-álgebra que contiene los singletons. Por el contrario, supongamos que $E\in\mathscr C$. Si $E$ es numerable, entonces $E$ es una unión numerable de singletons. Por lo tanto, $E\in\mathscr S$ (porque $\mathscr S$ es una $\sigma$-álgebra que contiene los singletons). Si $E^c$ es numerable, entonces, por el mismo argumento, $E^c\in\mathscr S$, de lo que se deduce que $E\in\mathscr S$ (ya que las $\sigma$-álgebras están cerradas bajo los complementos). En conclusión, $\mathscr C\subseteq\mathscr S$. $\blacksquare$

Claramente, $(0,1)\notin\mathscr C=\mathscr S$, pero $(0,1)\in\mathscr B_{\mathbb R}$. Se sigue que $\mathscr B_{\mathbb R}\neq\mathscr S$.

Answer 2

Tu prueba para ambas partes está exactamente correcta tal como está declarada. No hay más formalización que hacer. Solo asegúrate de decir que $(0,1)$ es incontable.