Definición de derivadas parciales de PMA de Rudin

Question

Es la definición de la derivada parcial de Rudin en PMA.

¿Por qué considera $(25)$ para funciones reales $f_i$? ¿Qué pasa si en $(25)$ se reemplaza $f_i$ por la función vectorial $\mathbf{f}=(f_1,f_2,\dots,f_m)$? Supongo que podría ser más general.

Cualquier respuesta es muy apreciada.

Answer 1

Se puede hacer álgebra lineal en términos de $n$-tuplas $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ y matrices $\bigl[a_{ik}\bigr]$, o en términos de vectores "abstractos" ${\bf x}$ y mapas lineales $A.

De manera similar con derivadas en un entorno multivariado: Se pueden considerar funciones componentes $f_i$ $(1\leq i\leq m)$ y sus derivadas parciales $f_{i.k}$, como se define en $(25)$, o se puede hablar de la derivada como un mapa lineal entre espacios tangentes, y satisfaciendo $${\bf f}({\bf p}+{\bf X})-{\bf f}({\bf p})=d{\bf f}({\bf p}).{\bf X}+o\bigl(|{\bf X}|\bigr)\qquad({\bf X}\to{\bf 0})\ .$$ Lo que estás proponiendo es una versión mixta quimérica, que ciertamente tiene sentido matemático, pero rara vez se usa. De todos modos, tendrías $${\bf f}_{.k}({\bf p})=d{\bf f}({\bf p}).{\bf e}_k\ .$$ (Los puntos tienen el siguiente significado: En $d{\bf f}({\bf p}).{\bf X}$ escribo un punto para enfatizar que primero se debe calcular la derivada $d{\bf f}({\bf p})$ y luego aplicar este mapa lineal al vector ${\bf X}$. Algunas personas escriben $d{\bf f}_{\bf p}\,{\bf X}$ en su lugar. En $f_{i.k}$ el $i$ denota la $i-$ésima componente de ${\bf f}$, y $k$ denota el número de la variable con respecto al cual se diferencia. Entonces se puede escribir ${\bf f}_{.k}$ con el significado exacto que el OP tenía en mente en su pregunta.)