El proceso de Markov estacionario más conocido es el proceso de Ornstein-Uhlenbeck totalmente caracterizado mediante: $$ p_1 (x_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}x_1^{2}}, \quad p_{1|1}(x_2|x_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi (1 - e^{-2\tau})}} exp \left[ -\frac{(x_2 - x_1 e^{-\tau})^2} {2(1-e^{-2\tau})} \right], $$ $p_1$ es la probabilidad de obtener el valor $x_1$ en el tiempo $t_1$, mientras que $p_{1|1}$ es la probabilidad de transición, es decir, la probabilidad condicionada de obtener $x_2$ en $t_2$ dado $x_1$ en $t_1$. La probabilidad de transición depende únicamente de la diferencia de tiempo $\tau = t_2 - t_1 > 0$. Este proceso se derivó originalmente para determinar la velocidad de una partícula Browniana y es esencialmente el único proceso que es Gaussiano, Markoviano y estacionario.
¿Cómo se calcula la distribución conjunta de probabilidad $p(x_1,x_2)$ del proceso de Ornstein-Uhlenbeck?
-> ¿Cómo calcular la función de autocorrelación del proceso de Ornstein-Uhlenbeck mediante $$ \langle \langle x_1x_2\rangle\rangle = \int dx_1 \int dx_2 x_1 x_2 p(x_1x_2) $$
Distribución conjunta de probabilidad $p(x_1,x_2)$ del proceso de Ornstein-Uhlenbeck. Usando la definición, $$ p(x_1, x_2) = p(x_2|x_1) p(x_1) \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi (1 - e^{-2\tau})}} exp \left[ -\frac{(x_2 - x_1 e^{-\tau})^2} {2(1-e^{-2\tau})} \right] . \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}x_1^{2}} \\ = \frac{1}{2\pi \sqrt{(1 - e^{-2\tau})}} exp \left[ -\frac{1}{2} \left( \frac{(x_2 - x_1 e^{-\tau})^2} {2(1-e^{-2\tau})} - x_1^2 \right) \right] $$
¿Cómo proceder más adelante or esta es la solución final??
