Sea $\mathbb T:=[0,1]/(0\sim 1)$. Es fácil ver que si $f:\mathbb T\to \mathbb R$ y $k\in\mathbb Z$ es distinto de cero, entonces $f_k(x):=f(kx)$ (1) define un mapeo $ f_k:\mathbb T\to \mathbb R$, y $$ \int_{\mathbb T} f_k(x) dx = \int_{\mathbb T} f(x)dx$$ De hecho: identificando con funciones periódicas de periodo 1 en $\mathbb R$, se tiene $$ \int_{\mathbb T} f_k(x) dx = \int_0^1 f_k(x) dx = \frac1k\int_0^k f(y)dy \overset{\star}= \frac1k\sum_{j=0}^{k-1}\int_0^1f(y+j)dy = \int_0^1 f(y)dy.$$
Pregunta ¿Es cierto el siguiente análogo dimensional de $d$? Sea $f:\mathbb T^d\to \mathbb R$ y $K\in\mathbb Z^{d\times d}$ con $\det K\neq 0$. Definimos un mapeo $f_K:\mathbb T^d\to R$ por $f_K(x) := f(Kx)$. ¿Es cierto que $$ \int_{\mathbb T^d} f_K(x) dx = \int_{\mathbb T^d} f(x)dx?$$
La prueba anterior solo se extiende a matrices diagonales $K$. El problema para mí está en encontrar un reemplazo para la identidad marcada con $\star$. Como ejemplo de una matriz donde esto no es suficiente, consideremos $M=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. $M$ envía $[0,1]^2$ (verde) a $M[0,1]^2$ (rojo):
y el cambio asociado en las coordenadas (correspondiente al mapa inverso) se ve así:
Nótese que $\det M=5$ y hay cinco pequeños cubos (rotados, trasladados) en un cubo grande.
Entonces sospecho que el cálculo debería ser así. Presumiblemente, $$ \int_{\mathbb T^d} f(Kx)dx = |\ker K|\int_{\mathbb T^d/\ker K}f(Kx)dx\tag{A}$$ donde identificamos $K\in\mathbb Z^{d\times d}$ con el mapeo $K:\mathbb T^d\to\mathbb T^d$.
Luego, parece que $$ |\ker K| = |\det K|\tag{B}$$ Dado que el Primer Teorema de Isomorfismo me dice que $K$ es un isomorfismo de $\mathbb T^d/\ker K$ a $\mathbb T^d$, el cambio de variables $y=Kx$ (con Jacobiano $1/|\det K|$) da $$\int_{\mathbb T^d/\ker K}f(Kx)dx = \frac1{|\det K|}\int_{\mathbb T^d} f(y) dy,$$ lo cual concluye la prueba.
Entonces ahora la pregunta es, ¿cómo se demuestran $(A),(B)$?
La aparición de $\mathbb Z^{d\times d}$ me recuerda (bueno, le recordó a un amigo) al teorema fundamental de grupos abelianos finitamente generados, pero lo he olvidado casi por completo.
También parece, por lo que he encontrado en Google, que lo que me falta es la habilidad para identificar un ‘dominio fundamental’? Se agradecen todas las opiniones.
