Demuestra que $\det \left( A^{-1} \right) = \frac{1}{\det(A)}$

Question

Si tengo una matriz no singular $\bf A$, ¿cómo puedo demostrar lo siguiente?

$$\det \left( {\bf A}^{-1} \right) = \frac{1}{\det({\bf A})}$$

Sé que ${\bf A} {\bf A}^{-1} = {\bf I}$, pero no estoy seguro de qué hacer con ese conocimiento.

Answer 1

En primer lugar sabemos que

$$\det(A \cdot B)=\det(A)\times\det(B)$$

también sabemos que

$$A\times A^{-1}=I$$

sabemos que

$$\det(A \cdot A^{-1})=\det(I)$$

o

$$\det(A)\times\det(A^{-1})=\det(I)$$

¿Puedes continuar a partir de esto? Pregúntate a ti mismo: ¿cuál es $\det(I)$?) Toma el ejemplo de la matriz identidad de $3\times 3$:

$$I = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\det(I) = 1$$

Entonces,

$$\det(A)\times\det(A^{-1})=1$$

o

$$\boxed{\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}}$$