Encuentra $\int_{0}^{1} f(x)dx$ sin conocer $f(x)$

Question

Pregunta: $$\int_{0}^{1} (2x^2-3f(x))f(x)dx=\frac{1}{15}$$

entonces encuentra $\int_{0}^{1} f(x)dx$.

Intenté aplicar por partes en ello. Pero no tuve éxito en encontrar $f(x)$ a partir de ahí. ¿Hay alguna forma de encontrar directamente $f(x)$ o solo podemos determinar su integral de $0$ a $1$. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Nota:

$$\int_0^1 \left(\frac{1}{\sqrt3}x^2\right)^2dx=\frac{1}{15}$$

Entonces podemos completar el cuadrado:

$$\int_0^1 \left(\sqrt3 f(x)-\frac{1}{\sqrt3}x^2\right)^2dx=0$$

por lo tanto,

$$f(x)=\frac{1}3x^2$$

y

$$\int_0^1f(x)dx=\frac{1}9$$

Answer 2

\begin{align*} \int_0^1 [2x^2 - 3f(x)]f(x)dx &= -3\int_0^1 \left[f^2(x) - 2\dfrac{x^2}{3}f(x) + \dfrac{x^4}{9}\right]dx + \dfrac{1}{3}\int_0^1 x^4 dx\\ &= -3 \int_0^1 \left[f(x) - \dfrac{x^2}{3}\right]^2dx + \dfrac{1}{15} \end{align*}

Por lo tanto, $$ \int_0^1 [2x^2 - 3f(x)]f(x)dx = \dfrac{1}{15} \Longleftrightarrow f(x) = \dfrac{x^2}{3} $$ Por lo tanto, $$ \int_0^1 f(x)dx = \dfrac{1}{3}\int_0^1 x^2 dx = \dfrac{1}{9} $$