¿$\int_{0}^{1}(f'(x))^2-(f'(x))^3f(x)\; dx \geq 0$?

Question

¿Es verdad que para todas las funciones $f$ que $f(0)=f(1)=0$ : $$\int_{0}^{1}(f'(x))^2-(f'(x))^3f(x)\; dx \geq 0$$

He intentado encontrar un contraejemplo, pero no lo he encontrado.

Answer 1

Tomemos $$f(x) = 10x(x-1)^2$$

entonces

$$\int_0^1f'(x)^2-f'(x)^3f(x)dx = -\frac{220}{21}$$