¿Es el procedimiento para demostrar $A = B$ el mismo que para demostrar $A \iff B$?

Question

Para dar un ejemplo específico, consideremos un problema como:

Probar que $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(1 / x) = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)$,

La solución en mi libro de texto tiene la siguiente forma:

1. Supongamos que se cumple la definición de $\delta, \epsilon$ de $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(1 / x)$. Entonces también se cumple la definición de $N, \epsilon$ de $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)$.

2. De manera inversa, supongamos que se cumple la definición de $N, \epsilon$ de $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x)$. Entonces también se cumple la definición de $\delta, \epsilon$ de $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(1 / x)$.

Este formato parece ser el mismo que la demostración para una afirmación si y solo si. ¿Es correcto decir que probar afirmaciones de igualdad y si y solo si se puede abordar de la misma manera? Además, ¿alguien puede recomendar una referencia para abordar diferentes tipos de demostraciones? No estoy buscando una referencia exhaustiva sobre lógica, sino una guía concisa que responda preguntas similares a esta.

Answer 1

Bueno, el libro realmente está demostrando:

$\lim_{x\to 0^+} f(1/x)=L\iff \lim_{x\to\infty}f(x)=L$.

Es cierto en general que $A=B$ es equivalente a la afirmación:

Para todos los valores $L,$ $$A=L\iff B=L$$

Esto es más complicado que decir que dos valores son iguales. Lo que está diciendo es que si cualquiera de los límites existe, entonces el otro límite existe y son iguales.

Esa es la clave. Así que hay una parte de "si y solo si".

$A$ existe si y solo si $B$ existe, y luego tienen el mismo valor.

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Otra vez es cuando $U$ y $V$ son conjuntos. Entonces $U=V$ es equivalente a:

Para todo $x,$ $x\in U$ si y solo si $x\in V$.

Entonces nuevamente, se prueban ambos casos.