Significado exacto de una función suave de soporte compacto: ¿el soporte puede ser cualquier conjunto compacto medible?

Question

Sea $C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ el espacio de funciones suaves con soporte compacto en $\mathbb{R}^n$.

Aquí, ahora estoy un poco curioso sobre el significado preciso de soporte y suavidad.

Por ejemplo, cualquier conjunto medible $B \subset \mathbb{R}^n$ de medida finita puede ser aproximado por subconjuntos compactos.

Digamos que $K_m \subset B$ es compacto y $\mu(B-K_m) < \frac{1}{m}$ para cada $m \in \mathbb{N}$, donde $\mu$ es la medida de Lebesgue $n$-dimensional.

Entonces, recuerdo vagamente que existe una función suave $\phi_m : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ con soporte en $K_m$ para cada $m \in \mathbb{N}$.

Sin embargo, $K_m$ puede ser bastante arbitrario e incluso discreto. En todos esos casos, ¿cómo se define la suavidad?

¿Podría alguien por favor aclararme?

Answer 1

Basándonos en los comentarios anteriores, parece que estás interpretando incorrectamente "función suave con soporte compacto" como "función con soporte compacto que es suave en su soporte." Esto no es lo que significa: los requisitos para que $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ esté en $C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ son precisamente que

• $f$ sea suave en el sentido usual de $\mathbb{R}^n$, y

• $cl(\{x:f(x)\not=0\})$ sea compacto (también en el sentido usual de $\mathbb{R}^n$).

En particular, el soporte de tal $f$ nunca puede ser discreto ya que para cualquier función suave (o incluso continua) $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ el conjunto $\{x: f(x)\not=0\}$ será abierto. Para ser el soporte de una función continua (mucho menos suave), un conjunto compacto $K$ debe cumplir con $$K=cl(int(K)).$$ Es un buen ejercicio comprobar si esta condición necesaria también es suficiente.