Si toda serie absolutamente convergente es convergente, entonces $X$ es un espacio de Banach

Question

Mostrar que

Un Espacio Lineal Normado $X$ es un Espacio de Banach si y solo si cada serie absolutamente convergente es convergente.

Mi intento:

Sea $X$ un Espacio de Banach. Sea $\sum x_n$ una serie absolutamente convergente. Consideremos $s_n=\sum_{i=1}^nx_i$. Ahora $\sum \|x_n\|<\infty \implies \exists N$ tal que $\sum_{i=N}^ \infty \|x_i\|<\epsilon$ para cualquier $\epsilon>0

Luego $\|s_n-s_m\|\le \sum _{i=m+1}^n \|x_i\|<\epsilon \forall n,m>N

Así que $s_n$ es de Cauchy en $X$ y por lo tanto converge $s_n\to s$ (digamos).

Entonces $\sum x_i$ converge.

Recíprocamente, sea $x_n$ una Sucesión de Cauchy en $X$. Aquí no puedo continuar cómo utilizar el hecho dado.

Cualquier ayuda será grandemente apreciada.

Answer 1

Para el argumento inverso; dejemos que $X$ sea un espacio lineal normado en el cual cada serie absolutamente convergente converge, y supongamos que $\{x_n\}$ es una sucesión de Cauchy.

Para cada $k \in \mathbb{N}$, elige $n_k$ tal que $||(x_m − x_n)|| < 2^{−k}$ para $m, n \geq n_k$. En particular, $||x_{n_{k+1}}−x_{n_k}||< 2^{-k}$. Si definimos $y_{1} = x_{n_{1}}$ y $y_{k+1} = x_{n_{k+1}} − x_{n_{k}}$ para $k \geq 1$, se sigue que $\sum ||y_{n}|| ≤ ||x_{n_{1}} || + 1$ es decir, ($y_{n}$) es absolutamente convergente, y por lo tanto converge.

Answer 2

Un espacio normado es completo si y solo si cada serie absolutamente convergente converge.

$\implies$

Vamos a demostrar esto demostrando que una serie absolutamente convergente es una serie de Cauchy.

Definimos una serie absolutamente convergente. Supongamos $x_n\in E$ y $\sum_{n=1}^\infty||x_n||<\infty$ y denotemos $$ s_n=\sum_{k=1}^nx_k $$ Dado que la secuencia de sumas parciales converge en E, para cada $\epsilon >0 $, existe $k>0$ tal que $$ \sum_{n=k+1}^\infty ||x_n||<\epsilon $$ Para mostrar que $(s_n)$ es una sucesión de Cauchy, $\forall \epsilon>0,\exists M,\forall m,n>M$ tal que $$ ||s_m-s_n||=||x_{n+1}+x_{n+2}+\dotsm+x_m||\le \sum_{r=n+1}^\infty ||x_r||<\epsilon $$ (sin pérdida de generalidad, asumimos que $m>n$)

Dado que E es completo, $s_n$ converge.

$\Longleftarrow$

Necesitamos probar si cada serie absolutamente convergente en un espacio normado converge, entonces el espacio normado es completo.

Sea $(x_n)$ una sucesión de Cauchy en E y por lo tanto $\forall \epsilon>0,\exists p_k\in N,\forall m,n>p_k$ tal que $$ ||x_m-x_n||<2^{-k} $$ sin pérdida de generalidad, podemos asumir que $(p_k)$ es estrictamente creciente.

Entonces la serie $\sum_{k=1}^\infty (x_{p_{k+1}}-x_{p_k})$ es absolutamente convergente y por lo tanto, convergente y por lo tanto, la sucesión $$ x_{p_k}=x_{p_1}+(x_{p_2}-x_{p_1})+(x_{p_3}-x_{p_2})+\dotsm+(x_{p_k}-x_{p_{k-1}}) $$ converge a un elemento $x\in E$

Entonces $$ ||x_n-x||\le ||x_n-x_{p_n}||+||x_{p_n}-x||\rightarrow 0 $$ Q.E.D.

Answer 3

Pista: muestra que hay una subsecuencia $y_n$ tal que $\|y_n - y_{n+1}\| < 2^{-n}$.