¿Cómo encontrar las coordenadas del punto reflejado?

Question

¿Cómo puedo encontrar las coordenadas de un punto reflejado sobre una línea que no necesariamente sea alguno de los ejes?

Pregunta de ejemplo:

Si $P$ es un reflejo (imagen) del punto $(3, -3)$ en la línea $2y = x+1$, encuentra las coordenadas del punto $P$.

Sé que la respuesta es $(-1,5)$ al dibujar un gráfico, pero aparte de eso, no puedo proporcionar ningún cálculo previo porque no sé por dónde empezar...

Answer 1

Déjame añadir otro para los transeúntes:

Podemos obtener la distancia perpendicular desde el punto hasta la línea por:

$\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2 + b^2}} $

donde a, b, c son los coeficientes de la línea y x e y son las coordenadas de tu punto dado.

Aquí $a=1, b=1, c=-2; x=3, y=-3$

encontramos que esta longitud es $\frac{10}{\sqrt{5}}$

El vector dirección de la línea es $(1,\frac{1}{2})$. Al observar encontramos que el vector perpendicular que representa la perpendicular desde el punto hasta la línea debe tener dirección

$(- \frac{1}{2}, 1)$

En la normalización -

$(- \frac{1}{2}, 1) \frac{2}{\sqrt{5}}$

entonces el vector desde el punto hasta el pie de la perpendicular es simplemente esto multiplicado por la distancia entre ellos, es decir

$(- \frac{1}{2}, 1) \times \frac{2}{\sqrt{5}} \times 2 \sqrt{5}$ (encontrado arriba)

Por lo tanto, nuestro vector es $(-2,4)$. Queremos que este sea el doble de la longitud para la reflexión, así que $(-4,8)$. Finalmente obtenemos este punto sumando vectorialmente nuestro punto de inicio (¡dibuja!)

$(-4,8)+(3,-3)$

que esssssss

$(-1,5) $

Answer 2

Respuesta similar a @Vrisk, pero un poco más rápida

Considera la línea $L=Ax+By+C=0$ y encuentra la imagen del punto $(u,v)$ asumiendo que $Au + Bv + C \neq 0 $

Si extendemos el espacio en el que existe la ecuación a $R^3$, encontraremos que la ecuación $Ax+By+C=0$ denota un plano con un vector normal unitario como: $$ \hat{n} = \frac{}{\sqrt{A^2 +B^2} } $$

Ahora, considera la distancia perpendicular no firmada de este punto a la línea/plano:

$$ d = \frac{Au +Bv +C}{\sqrt{A^2 +B^2}}$$

Ahora, dependiendo del signo de la cantidad anterior, podemos ver en qué parte del plano/línea se encuentra el punto (ver aquí).

Si, desde nuestro punto, nos trasladáramos dos veces en la dirección del vector normal escalado por la distancia de la línea al punto, llegaríamos al punto imagen. Por lo tanto, las coordenadas de la imagen $(I)$ están dadas por el vector:

$$I =- \frac{2(Au+Bv+c)}{A^2 +B^2} $$

O más concisamente:

$$I= -2d \hat{n}$$

Aquí hay un diagrama útil: