¿Cómo encontrar las coordenadas del punto reflejado?

Question

¿Cómo puedo encontrar las coordenadas de un punto reflejado sobre una línea que no necesariamente sea alguno de los ejes?

Pregunta de ejemplo:

Si $P$ es un reflejo (imagen) del punto $(3, -3)$ en la línea $2y = x+1$, encuentra las coordenadas del punto $P$.

Sé que la respuesta es $(-1,5)$ al dibujar un gráfico, pero aparte de eso, no puedo proporcionar ningún cálculo previo porque no sé por dónde empezar...

Answer 1

La fórmula para encontrar el pie de la perpendicular desde un punto $(x_1, y_1)$ a la línea $ax+by+c=0$ es la siguiente: $$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{-(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}$$

Para encontrar la imagen del punto en la misma línea, simplemente multiplicamos el término más a la derecha por 2.

Entonces, la imagen del punto $(x_1, y_1)$ en la línea $ax_1+by_1+c=0$ es la siguiente: $$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{-2(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}$$

La imagen del punto está a la misma distancia de la línea que el propio punto. Por lo tanto, tenemos que multiplicarlo por 2. Eso es lo que pienso.

Aquí está la prueba de mi libro:

Por favor, disculpe el tamaño de la imagen... :P

Answer 2

Encuentra la línea perpendicular a $2y=x+1$ que pasa por $(3, -3)

$$2x+y=3$$

Encuentra el punto de intersección de esas dos líneas (Pie de la perpendicular)

$$(1,1)$$

Utiliza la Fórmula del Punto Medio (caso especial de la fórmula de la sección) para obtener el punto requerido (El pie de la perpendicular es el punto medio de la reflexión y el punto original)

$$(-1,5)$$

Answer 3

Me gusta usar números complejos para esto. Primero hagámoslo cuando el eje de simetría pasa por el origen. Sea $\alpha$ el ángulo que forma con el eje $x$ y sea $u=\cos\alpha+i\sin\alpha$; entonces se obtiene el punto simétrico de $z\in\mathbb{C}$ rotando primero por $-\alpha$, luego conjugando y después rotando nuevamente por $\alpha$: la primera rotación hace que el eje de simetría coincida con el eje $x$, por lo que la reflexión es simplemente la conjugación.

Así que haces (recordando que $u^{-1}=\bar{u}$) $$ z\mapsto \bar{u}z\mapsto \overline{\bar{u}z}\mapsto u\overline{\bar{u}z}=u^2\bar{z} $$ Si volvemos a los números reales, obtenemos $$ x+iy\mapsto (x\cos2\alpha+y\sin2\alpha)+i(x\sin2\alpha-y\cos2\alpha) $$ entonces la ecuación es $$ (x,y)\mapsto \left(\frac{(1-m^2)x+2my}{1+m^2},\frac{2mx-(1-m^2)y}{1+m^2} \right) $$ si la ecuación de la recta es $y=mx$, porque $m=\tan\alpha$ y por lo tanto $$ \cos2\alpha=\frac{1-m^2}{1+m^2},\quad\sin2\alpha=\frac{2m}{1+m^2}. $$

Si la recta tiene la ecuación $y=mx+q$ simplemente se agrega primero una traslación por $-iq$ y por último una traslación por $iq$: $$ z\mapsto z-iq\mapsto \bar{u}(z-iq)\mapsto \overline{\bar{u}(z-iq)}\mapsto u\overline{\bar{u}(z-iq})\mapsto u\overline{\bar{u}(z-iq})+iq $$ y, finalmente, $$ z\mapsto u^2\bar{z}+iq(1+u^2) $$ Nota que $1+u^2=1+\cos2\alpha+i\sin2\alpha=\dfrac{2}{1+m^2}+i\dfrac{2m}{1+m^2}$ así que la ecuación es $$ (x,y)\mapsto \left(\frac{(1-m^2)x+2my-2mq}{1+m^2},\frac{2mx-(1-m^2)y+2q}{1+m^2} \right) $$ En el caso presente $m=1/2$ y $q=1/2$, entonces, solo sustituyendo, $$ (3,-3)\mapsto (-1,5) $$

Porsupuesto que esto es excesivo si solo quieres saber la imagen de un punto, pero creo que el método ilustra bien el poder de los números complejos.

Answer 4

En general, la reflexión del punto $(p, q)$ en la línea $ay + bx + c = 0$ es

$$\left(\frac{p(a^{2}-b^{2})-2b(aq+c)}{a^{2}+b^{2}},\frac{q(b^{2}-a^{2})-2a(bp+c)}{a^{2}+b^{2}}\right)$$

Prueba aquí (¡no se necesitan números complejos!).

$$\\$$

Entonces, en este caso, tu punto es $(p, q) = (3, -3)$ y tu línea es $2y-x-1=0$ (reescribida en la forma $ay+bx+c=0$). Así que simplemente introduce los números para obtener $(-1, 5)$ como se deseaba.

O puedes utilizar la hoja de cálculo titulada "Reflexión del Punto en la Línea" aquí.

(Estaba buscando una solución general pero no parecía encontrar ninguna en línea, así que pensé que podría compartir mi trabajo aquí).

Answer 5

Aquí hay una forma: hay muchas otras.

Deja que el punto de imagen deseado sea $(a,b)$. Entonces quieres dos condiciones:

1) El punto medio del segmento de línea entre el punto dado y el punto de imagen está en la línea dada. Esto nos da $$2\frac{-3+b}2= \frac{3+a}2+1$$ 2) La línea que contiene el punto dado y el punto de imagen es perpendicular a la línea dada. Esto significa que sus pendientes son recíprocas negativas, lo que nos da $$\frac{-3-b}{3-a}=-\frac{1}{1/2}$$

Estas son dos ecuaciones en dos incógnitas, lo que nos permite encontrar $a$ y $b$.