Álgebra lineal, base

Question

Sean $ B = \langle v_1, ..., v_n\rangle, \space C = \langle u_1, ..., u_n\rangle $ algunas bases diferentes de $ \mathbb{F^{n}} $.

Supongamos que existe un vector

$$ w \in \mathbb{F^{n}} $$

que satisface

$$ [w]_B = [w]_C $$

¿Qué podemos decir entonces sobre B, C o incluso el vector mismo? Me di cuenta de que esta situación es posible cuando $w$ es parte de la base misma, es decir, si existe algún $1 \leq i \leq n$ , tal que $ u_i = v_i = w $ entonces tiene que implicar que

$$ [w]_B = [w]_C = e_i $$

¿Alguien ve alguna otra situación en la que esto sea posible?

Answer 1

Esta condición siempre se cumple cuando $0$.

Un caso no trivial de esta condición existe si y solo si $\{u_i-v_i\}_{i=1}^n$ no es una base (en particular, linealmente dependiente).

Si $\{u_i-v_i\}_{i=1}^n$ no es una base, entonces elige $\{a_i\}_{i=1}^n \subseteq \mathbb{F}$ no todos cero tal que $\sum_{i=1}^n a_i(u_i-v_i) =0$, lo cual da $\sum_{i=1}^na_iu_i=\sum_{i=1}^na_iv_i$.

Si $\sum_{i=1}^na_iu_i=\sum_{i=1}^na_iv_i$ para $\{a_i\}_{i=1}^n \subseteq \mathbb{F}$ no todos cero, entonces $\sum_{i=1}^n a_i(u_i-v_i) =0$, lo cual prueba que $\{u_i-v_i\}_{i=1}^n$ no es una base.

Answer 2

Arreglar $B, C$. Los vectores $v \in \mathbb{F}^n$ con la propiedad de que existe $w$ tal que $[w]_B = [w]_C = v$ son precisamente $0$ y los autovectores de la matriz de cambio de base $Q$ entre las bases $B$ y $C$ asociados al autovalor $1$ (también conocido como el espacio fijo de $Q$, también conocido como $\ker(Q - I)$).