¿Cuándo y por qué tomamos en cuenta la curvatura de la curva a escala infinitesimal en cálculo?

Question

Antecedentes

Sabemos que la integral $\int f(x)~dx$ representa el área bajo la curva, donde el área se representa por la suma de las áreas individuales de las tiras elementales de ancho $dx$ y alto $f(x)$. Como $dx$ es infinitesimal, podemos ignorar el error debido a la curvatura de la curva y tratar las tiras elementales como casi unidimensionales. A medida que la curvatura desaparece a escala infinitesimal, el área se convierte en la de un rectángulo perfecto, $dx \times f(x)$.

De manera similar, esto se puede extender para trabajar el volumen de revolución, que consiste en "discos" elementales del área de la cara $\pi f^2(x)$ y longitud $dx$. El nombre "disco" utilizado en los libros de texto es realmente un cilindro con un área de cara grande en relación con una longitud pequeña (realmente infinitesimal). El volumen de un cilindro es igual a un área de cara $\times$ longitud, por lo que el volumen de revolución es $\int \pi f^2(x)~dx$. Nuevamente, esto ignora la curvatura de la curva original $f(x)$ y asume que en cada $dx$ la unidad elemental es perfectamente cilíndrica.

Lo anterior son resultados de libros de texto establecidos y no controversiales.

Pregunta

¿Por qué no podemos extender los mismos principios en la derivación de la superficie de revolución? Si tomamos el cilindro como la forma elemental, la superficie de revolución de toda la curva podría representarse por la suma de las superficies laterales de los cilindros elementales, cada una igual a $2\pi f(x)\times dx$. Entonces, toda la superficie sería igual a $\int 2\pi f(x)~dx$. Pero aparentemente esto está mal.

En cambio, aquí, las derivaciones de los libros de texto (ejemplo) sí tienen en cuenta la curvatura en $f(x)$, y utilizan el área de la superficie elemental igual a $2\pi f(x) \times ds$, donde $ds$ es la longitud curva de la curva en cada intervalo de $dx$. Por lo tanto, la forma elemental asumida es la de un tubo, en lugar de un cilindro.

¿Por qué no es aceptable ignorar la curvatura aquí, pero es aceptable en los cálculos del área bajo la curva y el volumen de revolución?

Answer 1

Tomemos la parte de la revolución y consideremos solamente la longitud de una curva. ¿Cuál es la longitud del segmento de línea desde $(0,0)$ hasta $(1,1)$? Si seguimos tu método, deberíamos ser capaces de hacer lo siguiente:

• Para cada n, dividimos el intervalo $[0,1]$ en $n$ piezas de ancho igual $\Delta x = \frac{1}{n}$.
• Para cada $i$ desde $0$ hasta $n$, aproximamos la curva sobre el intervalo $\left[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]$ mediante el segmento de línea horizontal que conecta $\left(\frac{i-1}{n},\frac{i-1}{n}\right)$ con $\left(\frac{i}{n},\frac{i-1}{n}\right)$. La longitud de este segmento de línea es $\frac{1}{n}$.
• La longitud de la curva es aproximadamente $$ \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n} = 1 $$ Dado que la suma aproximada no depende de $n$, la longitud es precisamente $1$.

Pero sabemos que la longitud real de este segmento de línea es $\sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. Debemos tener en cuenta también el desplazamiento vertical.