¿Puede alguien mostrar (o proporcionar una referencia) que una variedad algebraica $X$ es normal si y solo si cada morfismo finito y birracional $f:Y\rightarrow X$ es un isomorfismo?
Más importante aún, ¿puede describir su intuición que conecta estos dos puntos de vista?
Hay algunas cosas sucediendo aquí. En primer lugar, deberíamos decir algo como "isomorfismo con un subconjunto abierto". Luego, una implicación es solo una forma de lo que generalmente se llama el teorema principal de Zariski.
La otra implicación sigue de la normalización misma. Si $X$ no es normal, entonces $\tilde{X}\to X$ es un mapa finito, sobreyectivo y birracional que no es un isomorfismo.
En cuanto a la intuición, diría que siempre asocio la normalidad con la regularidad en codimensión $1$ (esto es parte del criterio de Serre*). Dado que un morfismo birracional es un isomorfismo fuera de un conjunto de codimensión $1$, parece razonable que primero miremos hacia la normalidad al decidir si tal morfismo puede ser extendido.
* Específicamente, una variedad es normal si y solo si su locus singular tiene una codimensión de al menos $2$, más una condición técnica adicional (es suficiente que sea una hipersuperficie en algo suave).
Aquí hay una prueba de la equivalencia:
Supongamos que $Y$ es normal, y sea $f: X \to Y$ finito. Sea Spec $A$ un subconjunto afín abierto de $Y$. Dado que $f$ es finito, tenemos que $f^{-1}($Spec $A)$ es un subconjunto afín abierto Spec $B$ de $X$, con $A \to B$ finito.
Dado que $f$ es birracional, $A$ y $B$ tienen el mismo cuerpo de fracciones, digamos $K$. Así que $B$ es un subálgebra finita, y en particular integral, de $A$ en $K$.
Dado que $Y$ es normal, $A$ es cerrado integralmente (por definición de normal), y por lo tanto en realidad $B = A$. Por lo tanto, $f$ es un isomorfismo.
Si $Y$ no es normal, entonces como señala usted-señor-33433, la normalización de $Y$ es un morfismo birracional finito que no es un isomorfismo.
Mi intuición para esta afirmación es básicamente recordar esta prueba, en la siguiente forma de cápsula: birracional significa mismo campo de fracciones; finito significa que los anillos afines se están extendiendo integralmente; normal significa que los anillos afines están cerrados integralmente.
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