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Cierres $p$-ádicos de conjuntos infinitos

Sea $S\subsetneq\mathbb{Z}$ un conjunto infinito. ¿Siempre existe un primo $p$ tal que la cerradura de $S$ en los enteros $p$-ádicos, $\mathbb{Z}_p$, contiene un entero racional $n\notin S$?

O, en lenguaje elemental, ¿siempre existe un primo $p$ y $n\in \mathbb{Z}\setminus S$ tal que para todo $k$ existe un $s\in S$ tal que $p^k\mid n-s$?

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psychotik Puntos 171

¿Qué tal si $S = \{ 0 \} \cup \{ n! : n \in \mathbb{N} \}$?

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