En muchos textos, la función característica se define como una transformada de Fourier de la densidad de probabilidad (si la variable aleatoria admite una función de densidad). También podemos definir una función característica como la transformada de Fourier de la medida de probabilidad en su lugar (como en Jacod J., Protter P. Esenciales de probabilidad, segunda edición, página 104). ¿Son estas definiciones iguales? Estoy un poco confundido ya que no todas las variables aleatorias tienen densidad de probabilidad, pero la medida de probabilidad siempre debe ser definida.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Reto Meier
Puntos
55904
Sí, son iguales. Para una variable aleatoria que admite una función de densidad $f$, su medida de distribución $\mu$ está dada por $\mu(A) = \int_A f dm$, o de forma más compacta $d\mu = f dm$, donde $m$ es la medida de Lebesgue. Es claro que en este caso, la transformada de Fourier de $\mu$ es la misma que la transformada de Fourier de $f.
