¿Cómo resolver esta ecuación diferencial con los datos dados?

Question

Se nos da una función diferenciable $f$ que satisface las siguientes condiciones: $$\begin{split} f(2x)&=2\dfrac{f(x)}{e^x}\\ f'(0)&=1 \end{split}.$$ Usando estas condiciones, deberíamos ser capaces de encontrar el área delimitada por $y=f(x)$ y el eje $x$, pero ¿cómo podemos hacer esto?

Answer 1

Considera $f(x)=xe^{-x} \rightarrow f(2x)=2xe^{-2x}$ lo cual es igual a $2 \times f(x) \times e^{-x}$. $f'(x)=e^{-x}-xe^{-x} \rightarrow f'(0)=1$

Entonces esta función satisface las condiciones. Podemos encontrar el área tomando la integral.