Espacios vectoriales y multiplicación escalar

Question

Digamos que tengo el conjunto $V$ de números racionales como vectores y el campo $F$ de números reales como escalares. ¿Forma $V$ un espacio vectorial sobre $F$? Pregunto esto porque $V$ no está cerrado bajo la multiplicación escalar.

En Wikipedia no se menciona que estar cerrado bajo la multiplicación escalar sea un axioma, pero en WolframAlpha dice "Un espacio vectorial $V$ es un conjunto que está cerrado bajo la suma finita de vectores y la multiplicación escalar." Si WolframAlpha tuviera razón, ¿no podrían los números racionales formar un espacio vectorial sobre los números reales?

Gracias por cualquier respuesta.

Answer 1

La oración 'Un espacio vectorial sobre un campo $F$ es un conjunto $V$ junto con dos operaciones binarias que satisfacen los ocho axiomas enumerados a continuación' del artículo de la Wikipedia parece ligeramente vaga. La multiplicación escalar no es exactamente una operación binaria en $V$ sino más bien una función $\mu:F\times V\rightarrow V$, lo que implica que los espacios vectoriales están cerrados bajo la multiplicación escalar.

Answer 2

No, si defines los Espacios Vectoriales de esta manera y requieres la clausura de $V$ bajo la multiplicación escalar, entonces no, $\mathbb{Q}$ no es un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{R}$. En general, creo que no puedes considerar un campo como $F$ y un subcampo de $F$ como $V$: por ejemplo, no puedes considerar $\mathbb{Q}$ como un Espacio Vectorial sobre $\mathbb{R}$, o no puedes considerar $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$. Sin embargo, puedes probar que lo contrario es posible: cada campo $F$ es un Espacio Vectorial sobre un subcampo $K \subset F$. Por ejemplo, puedes pensar en $\mathbb{C}$ como un Espacio Vectorial sobre $\mathbb{R}$, puedes pensar en $\mathbb{R}$ como un Espacio Vectorial sobre $\mathbb{Q}$.