Me preguntaba, ¿tiene un polinomio no negativo de tres variables (en $\mathbb{R}^3$) un punto mínimo? Entiendo que por ejemplo $(0,0,0)$ es un punto mínimo para algunos de ellos, pero ¿cuál podría ser la respuesta en el caso general?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un polinomio de este tipo puede, pero no necesariamente, tener un punto mínimo.
$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ es un ejemplo de lo primero, el cual alcanza el valor mínimo de $0$ en $(0,0,0)$.
Pero el polinomio $g(x,y,z)=x^2+y^2+(xyz-1)^2$ no tiene un punto mínimo. Tenemos $g(x,y,z) \ge 0$ obviamente como la suma de $3$ cuadrados, pero la igualdad no se puede alcanzar, ya que requeriría que $x=0, y=0$ y $xyz=1$, lo cual es imposible.
Así que tenemos que $g(x,y,z) > 0$ pero también $g\left(\frac1n,\frac1n, n^2\right)=\frac2{n^2}$ para cada $n > 0, n \in \mathbb Z$. Esto significa que $g(x,y,z)$ puede tomar valores positivos arbitrariamente pequeños pero nunca puede alcanzar $0$ exactamente, por lo que no tiene un punto mínimo.
Hay que tener en cuenta que esta construcción funciona para polinomios de $2$ o más variables, mientras que para una sola variable, un polinomio acotado inferiormente siempre tendrá un punto mínimo.
Esto se debe a que para una variable, un polinomio siempre tiende a $\pm\infty$ cuando el argumento tiende a $+\infty$ y $-\infty$. Si tiene un límite inferior, significa que para el mínimo solo es interesante un intervalo finito, entonces el teorema habitual para una función continua que alcanza un valor mínimo en un intervalo finito y cerrado demuestra la conclusión.
