¿Es $u \mapsto \|u\|_p$ un funcional lineal acotado en $L^p(\Omega)$?

Question

Sea $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ un dominio suave acotado y $1. ¿Mi pregunta: es $F:L^p(\Omega) \rightarrow [0,\infty)$, $F(u)=\|u\|_p$ un funcional lineal acotado? Yo diría que sí, con $\|F\|=1$, pero de eso se seguiría que existe $h\in L^q(\Omega)$ tal que $$F(u) = \|u\|_p = \int_{\Omega} h(x) u(x) \ d\mu(x) \quad \text{ para todo }u\in L^p(\Omega).$$ (obviamente $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ y $\mu$ es la medida de Lebesgue) Si esto realmente es cierto... es bastante impactante para mí. ¿Podría por favor aclarar o verificar?

Answer 1

La función que estás describiendo no es lineal. En cambio, tenemos (in)igualdades como $\|\alpha f\| = |\alpha|\|f\|$ y $\|u+v\| \le \|u\| + \|v\|$ - no tenemos $F(\alpha u+v) = \alpha F(u) + F(v)$.