¿Existen las continuaciones analíticas sobre $\mathbb{R}$?

Question

Tengo la sensación de que esto es bastante obvio ya que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$, pero supongamos que tenemos la función $f:\left[-1,1\right]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por

$$f\left(x,y\right) = \frac{y\left(x-\mathrm{csch}\,y\,e^{xy}+\coth y\right)}{y\coth y - 1 - \log\left(y\,\mathrm{csch}\, y\right)}$$

Es fácil ver que $f$ no está definida para $y=0$. Pero, por lo que entiendo, $y=0$ es, de hecho, un punto singular removible para $f$ ya que

$$\lim_{y\to 0} f\left(x,y\right) = 1-x^2$$

lo cual se puede determinar considerando la expansión de Laurent adecuada. Me pregunto si es preciso afirmar que si asigno $f\left(x,y=0\right) = 1-x^2$, entonces he construido una continuación analítica de $f$ que es válida para todos los $y\in\mathbb{R}$ (y, por supuesto, $x\in\left[-1,1\right]$). ¡Cualquier ayuda es apreciada!

Answer 1

No—más bien, una continuación tan suave no es única y, por lo tanto, no vale la pena llamarla una "continuación analítica." Los valores de una función suave en un intervalo no determinan los valores de la función en otros lugares. Por ejemplo, para cualquier función suave $f\colon[a,b]\to\Bbb R$, hay una "continuación real-analítica" $g\colon\Bbb R\to\Bbb R$ la cual

• es suave,
• coincide con $f$ en $[a-\varepsilon,b+\varepsilon]$ para cualquier $\varepsilon>0$,
• y para la cual $g(x)=0$ para $x\in\Bbb R\setminus[a-\varepsilon,b+\varepsilon]$.