Probabilidad de una variable aleatoria positiva mayor que una secuencia que tiende a 0

Question

Sea $X$ una variable aleatoria en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ tal que $X > 0$. La distribución de $X$ no es conocida. Sea $\{ a_k \}_{k = 1}^\infty$ una secuencia tal que $a_k \downarrow 0$.

De manera intuitiva, $P[X > a_k] \rightarrow 1$ conforme $k \rightarrow \infty$. Me pregunto si la siguiente demostración es correcta, y/o si hay una forma más fácil/mejor de hacer esto?

Prueba: Sea $f_k(\omega) = I(X(\omega) > a_k)$, donde $I(A)$ es la función indicadora del conjunto $A$.

Entonces claramente $0 \le f_k(\omega) \le f_{k + 1}(\omega)$. El límite de $f_k$ es $I(X(\omega) > 0)$. Luego, el teorema de convergencia monótona de Lebesgue proporcionaría el resultado deseado.

Answer 1

Sí, tu razonamiento es correcto.

Sin embargo, yo diría que aplicar el teorema de la convergencia monótona es algo excesivo. Lo que realmente estás usando es que la medida de probabilidad $\mathbb{P}$ es continua por arriba (es decir, que $A_k \downarrow A$ implica $\mathbb{P}(A_k) \to \mathbb{P}(A)$.) Simplemente nota que

$$A_k := \{X>a_k\} \downarrow \{X>0\}$$

y por lo tanto, por la continuidad de la medida,

$$1 = \mathbb{P}(X>0) = \lim_{k \to \infty} \mathbb{P}(X>a_k).$$