Demostrando que $\rho =3\cos\varphi$ es un círculo

Question

Practicando algunos ejercicios en Física. En una de las preguntas dijeron que $\rho =3\cos\varphi$ es un círculo y me pidieron que demostrara que es un círculo.

Estoy tratando de averiguar cómo hacerlo. En internet vi que la forma general de un círculo en coordenadas polares $r_0,\varphi$ y radio $a$ es: $$r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2$$ ¿Necesito comparar los dos?

Answer 1

Lo mejor que se puede hacer es cambiar de coordenadas polares $(\rho,\phi)$ a coordenadas cartesianas $(x,y)$.

Recuerda que $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ (¡recuerda que $r\geq0$!), entonces $\rho=\sqrt{x^2+y^2}=3\cos\phi$.

En cuanto al manejo del término trigonométrico, encuentro mejor considerar el caso cuando $\phi$ es agudo y visualizar el triángulo rectángulo que forma en el cuadrante positivo. Entonces, $\cos\phi=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$, así la ecuación se convierte en $x^2+y^2=3x$.

Por último, podemos completar el cuadrado para obtener $(x^2-3x+\frac94)+y^2=(x-\frac32)^2+y^2=(\frac32)^2$, indicando que este es un círculo con centro en $\boxed{\left(\frac32,0\right)}$ y radio de $\boxed{\frac32}$.

Answer 2

Se te da

$\rho = 3 \cos \varphi$

De lo cual se sigue que

$x = \rho \cos \varphi = 3 \cos^2 \varphi$

y

$y = \rho \sin \varphi = 3 \cos \varphi \sin \varphi$

Simplificando las expresiones, obtenemos

$x = \frac{3}{2} (1 + \cos 2 \varphi)$

y

$y = \frac{3}{2} \sin 2 \varphi$

Así

$\cos 2 \varphi = -1 + \dfrac{2}{3} x$

y

$\sin 2 \varphi = \frac{2}{3} y$

Y dado que $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ para cualquier $\theta$, entonces

$\left(-1 + \dfrac{2}{3} x \right)^2 + \left(\dfrac{2}{3} y \right)^2 = 1$

Multiplicando por $\left( \dfrac{3}{2} \right)^2$, obtenemos,

$\left(x - \dfrac{3}{2} \right)^2 + y^2 = \left( \dfrac{3}{2} \right)^2$

Lo cual es una ecuación de un círculo con centro en $\left(\dfrac{3}{2}, 0 \right)$ y un radio de $\left( \dfrac{3}{2} \right)$.

Answer 3

La relación entre coordenadas rectangulares y polares es:

$x=\rho \cos \phi$

$y=\rho \sin \phi$

$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$

Tenemos:

$\rho=2a\cos\phi$

Entonces:

$\sqrt{x^2+y^2}=2a\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$\Rightarrow x^2+y^2-2ax=0$

O:

$x^2-2ax+a^2+y^2=a^2$

lo cual nos da:

$(x-a)^2+y^2=a^2$

que es la ecuación de un círculo con centro en (a, 0). En tu pregunta $2a=3$ así que la ecuación del círculo es:

$(x-\frac32)^2+y^2=\frac 94$