¿Por qué la definición de positivo (semidefinido) solo se aplica a matrices simétricas?

Question

Cuando estamos definiendo matrices positivas (semi-)definidas, lo hacemos solo para matrices simétricas.

¿Por qué necesitamos simetría en la definición?

Answer 1

En realidad, está definido de manera más general para matrices hermitianas (matrices iguales al conjugado complejo de su traspuesta). Si una matriz hermitiana tiene al menos una entrada con una parte imaginaria (distinta de cero), entonces la matriz no es simétrica, pero aún podría ser positiva (semi-)definida.

Hay dos razones por las que creo que no deberíamos extender las definiciones a matrices no hermitianas. La primera es que si la matriz no es hermitiana, entonces podríamos tener valores propios complejos. En ese contexto, "positivo" no tiene significado.

Otra razón por la que pienso que no lo haríamos tiene que ver con las formas cuadráticas. Si $A$ es una matriz real simétrica, y $x$ es un vector de variables, entonces $f(x)=x^TAx$ se llama una forma cuadrática. $f(x)>0$ ($f(x)\geq 0$) para todo $x$ distinto de cero si y solo si $A$ es positiva definida (semi-definida). Podríamos relajar la condición de que $A$ sea simétrica, y definir formas cuadráticas de la misma manera para una matriz real general. Pero la forma cuadrática resultante es la misma que la definida por la matriz real simétrica $(A+A^T)/2$. La forma cuadrática es positiva definida si y solo si $(A+A^T)/2$ lo es, por lo que la positividad definida no es una propiedad de $A$ tanto como es una propiedad de $(A+A^T)/2.$ En otras palabras, terminaríamos estudiando matrices simétricas de todos modos, por lo que no obtendríamos nada nuevo al extender la definición a matrices reales no simétricas.

Answer 2

Desafortunadamente, no todos lo hacen de esta manera, lo que puede producir cierta confusión. Y en el caso de las matrices complejas, lo que deseas es Hermitianas, no simétricas.

Básicamente, la respuesta es que con la suposición de simetría, las matrices positivas (semi)definidas tienen algunas propiedades muy agradables, y sin ella no las tienen.

Answer 3

Una intuición simple es que las matrices definidas positivas son matrices cuyos valores propios son todos estrictamente mayores que cero. Si la matriz no es simétrica, es posible que ni siquiera tenga valores propios en $\mathbb{R}$.

Answer 4

La (semi)-definición suele estar asociada con formas bilineales simétricas (y a veces formas sesquilineales), y las matrices de Gram para esas formas son simétricas (o hermitianas, según sea el caso).

La condición puede estudiarse fuera de las formas bilineales, pero en ese caso es particularmente útil y natural.