He demostrado la continuidad de la función de distancia $d:X \times X\rightarrow \mathbb{R}$ en el espacio métrico $(X, d) Ahora tengo que trabajar en lo siguiente:
Sea $S \subseteq X$ un conjunto denso y $\{x_n\}$ una secuencia incluida en $X$. Demuestra que si existe $x \in X$ tal que $\lim\limits_{n \to \infty} d(x_n, s) = d(x, s)$ para todo $s \in S$, entonces $\lim \limits_{n \to \infty} x_n = x$.
Mi demostración: Queremos demostrar que $\lim \limits_{n \to \infty} d(x_n, x) = 0$. Dado que $S$ es denso, sea $\{s_m \}$ una secuencia en $S$ tal que $s_m \to x$.
$$ \begin{align} \lim_{n \to \infty} d(x_n, x) &= \lim_{n \to \infty} d \left(x_n, \lim_{m \to \infty} s_m \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \ \lim_{m \to \infty} d(x_n, s_m) \\ &= \lim_{m \to \infty} \ \lim_{n \to \infty} \ d(x_n, s_m) & & (d \text{ es continua)} \\ &= \lim_{m \to \infty} \ d(x, s_m) && \text{(por hipótesis)}\\ &= d(x, x) = 0. \end{align} $$
¿Crees que esta demostración es correcta? Está basada en gran medida en el hecho de que $d$ es continua.
Apreciaré mucho cualquier consejo.
¡Gracias!