Prueba basada en la continuidad de la función de distancia

Question

He demostrado la continuidad de la función de distancia $d:X \times X\rightarrow \mathbb{R}$ en el espacio métrico $(X, d) Ahora tengo que trabajar en lo siguiente:

Sea $S \subseteq X$ un conjunto denso y $\{x_n\}$ una secuencia incluida en $X$. Demuestra que si existe $x \in X$ tal que $\lim\limits_{n \to \infty} d(x_n, s) = d(x, s)$ para todo $s \in S$, entonces $\lim \limits_{n \to \infty} x_n = x$.

Mi demostración: Queremos demostrar que $\lim \limits_{n \to \infty} d(x_n, x) = 0$. Dado que $S$ es denso, sea $\{s_m \}$ una secuencia en $S$ tal que $s_m \to x$.

$$\begin{align} \lim_{n \to \infty} d(x_n, x) &= \lim_{n \to \infty} d \left(x_n, \lim_{m \to \infty} s_m \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \ \lim_{m \to \infty} d(x_n, s_m) \\ &= \lim_{m \to \infty} \ \lim_{n \to \infty} \ d(x_n, s_m) & & (d \text{ es continua)} \\ &= \lim_{m \to \infty} \ d(x, s_m) && \text{(por hipótesis)}\\ &= d(x, x) = 0. \end{align}$$

¿Crees que esta demostración es correcta? Está basada en gran medida en el hecho de que $d$ es continua.

Apreciaré mucho cualquier consejo.

¡Gracias!

Answer 1

Dos observaciones.

1) Tu secuencia $(s_m)$ no es una secuencia. Debido a que $S$ es denso, puedes elegir alguna secuencia tal que $s_m \to x$.

2) Deberías explicar por qué puedes cambiar el orden de los límites.

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Sin embargo, la demostración puede ser así.

Dado que $S$ es denso, para cada $\epsilon > 0$ puedes elegir $s \in S$ tal que $d(s,x) < \epsilon$. Entonces $$d(x_n,x) \leq d(x_n,s) + d(s,x) \leq \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$$ para $n$ suficientemente grande por la suposición. Por lo tanto, $x_n \to x$.

Answer 2

Creo que no necesitas la continuidad de $d$. Necesitas demostrar que $d(x_n,x)\to 0$. Entonces, sea $\epsilon\gt 0$. Como $S$ es denso en $X$, existe $s\in S$ tal que $d(s,x)\lt \epsilon/4$. Dado que $d(x_n,s)\to d(x,s)$, existe un $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n\geq N$ entonces $|d(x_n,s)-d(x,s)|\lt \epsilon/2$. Ahora, si $n\geq N$ $$\begin{align*} d(x_n,x) &\leq d(x_n,s)+d(s,x)\\ &= |d(x_n,s)-d(x,s)+d(x,s)|+d(s,x)\\ &\leq |d(x_n,s)-d(x,s)|+|d(x,s)|+d(s,x)\\ &= |d(x_n,s)-d(x,s)|+ 2d(s,x)\\ &\lt \frac{\epsilon}{2}+2\cdot\frac{\epsilon}{4}=\epsilon. \end{align*}$$ Dado que $\epsilon$ es arbitrario, esto demuestra que $d(x_n,x)\to 0$.