¿Cuál es el gradiente con respecto a un vector $\mathbf x$?

Question

¿Cuál es el significado de "gradiente con respecto a $\mathbf x$"?

http://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente

Estoy hablando del símbolo $$\nabla_\mathbf x$$

¿Eso simplemente significa derivada con respecto a $\mathbf x$?

Answer 1

Es necesario tener cuidado con cualquier notación ya que a menudo los autores definen y utilizan símbolos de manera diferente. Aunque en este caso en particular, mi experiencia matemática me dice que los más comunes son:

1. "Variable del gradiente":
siguiendo la respuesta de Rubén Tobar, puede ser una notación que proporciona información con respecto a qué variables se debe tomar todo el gradiente. Para ser más preciso: si $x_i\in \mathbb{R}$ para $i= 1,...,n$ y $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ es un vector definido como $\mathbf{x}=\{x_1,...,x_n\}$, dada $f(\mathbf{x}):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ diferenciable, tenemos: $$\nabla_{\mathbf{x}}f=(\partial_{x_1}f,...,\partial_{x_n}f)$$ Por lo tanto, $\nabla_{\mathbf{x}}f$ es un vector cuyas entidades $\partial_{x_i}f$ son simplemente derivadas estándar de una función multivariable $f$ con respecto a la variable real $x_i$ (llamadas derivadas parciales). Nota que aquí no escribí explícitamente la dependencia de $f$ en $\mathbf{x}$ ya que sería redundante y erróneo, pero sin embargo, tanto el lado izquierdo como todas las entidades en el lado derecho son funciones dependientes de $\mathbf{x}$.
Para elaborar un poco sobre la notación: se usa bastante comúnmente en ecuaciones diferenciales parciales, donde se tienen múltiples variables diferentes y para no confundir al lector, cuando se usa (o se define) un operador diferencial se enfatizan las variables utilizadas en la definición de este operador. Por ejemplo, considera lo siguiente: toma $\mathbf{x}\in{\mathbb{R}^n}$ definido como arriba y de manera similar $\mathbf{z}\in{\mathbb{R}^d}$ para algunos naturales $r,d>1$ y $t\in\mathbb{R}$. El problema es encontrar una función $f(t,\mathbf{x},\mathbf{z}):\mathbb{R}\times \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}$ que resuelva la ecuación diferencial. Sin enfatizar las variables, la siguiente ecuación diferencial es ambigua y difícil de escribir de otra manera: $$f_t + \nabla_\mathbf{x}f +{\rm div}_\mathbf{z}f = 0$$ donde ${\rm div}_\mathbf{z}$ es un operador diferencial diferente (llamado divergencia) definido como $\sum_i\partial_{z_i}$, $i=1,...d.

2. Derivada direccional:
Como se observa en https://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative (donde se puede encontrar más información), es una notación muy común para la derivada direccional. No en completa generalidad: Dada cualquier $f(\mathbf{x}):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ y un vector $\mathbf{v}\in \mathbb{R}^n$: $$\nabla_{\mathbf{v}} f(\mathbf{x}):=\nabla f(\mathbf{x})\cdot\mathbf{v},$$ donde en el lado derecho tenemos el producto escalar estándar.

3. Gradiente en x?:
En mi opinión (algunos pueden no estar de acuerdo): no es una notación común ni útil. Aunque, usando nuestra notación, significaría: $$\nabla_\mathbf{x}f:=[\nabla f] (\mathbf{x}):=(\partial_{x_1} f(\mathbf{x}),...,\partial_{x_n} f(\mathbf{x}))$$ Donde $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ está fijo y las derivadas parciales de $f$ se evalúan en $\mathbf{x}$. Nota que a diferencia del punto 1. donde no enfatizamos la dependencia de la variable, aquí escribimos explícitamente que las funciones se evalúan en $\mathbf{x}$.

Answer 2

Sea $f=f(\boldsymbol x,\boldsymbol u)=f(x_1,...,x_n,u_1,...,u_r)$. Entonces

$$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n},\frac{\partial f}{\partial u_1},...,\frac{\partial f}{\partial u_r} \right),$$ $$\nabla _{\boldsymbol x}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n} \right),$$

y $$\nabla _{\boldsymbol u}f=\left(\frac{\partial f}{\partial u_1},...,\frac{\partial f}{\partial u_r} \right).$$ de manera que $\nabla f(\boldsymbol x,\boldsymbol u) = (\nabla_{\mathbf{x}}f(\boldsymbol x,\boldsymbol u),\nabla_{\mathbf{u}}f(\boldsymbol x,\boldsymbol u))$

Answer 3

Tengo esto en mi cuaderno de mecánica clásica:

Si $\mathrm{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ entonces $$\nabla_{\mathrm{x}}f=\left(\partial_{x_1}f,\partial_{x_2}f,\ldots,\partial_{x_n}f\right)$$ Donde $x_i$ son variables.

¡Espero que te ayude :)

Answer 4

Gradiente simplemente significa 'pendiente', y puedes pensar en la derivada como la 'fórmula de la pendiente de la recta tangente'. Así que sí, el gradiente es una derivada con respecto a alguna variable.

En análisis vectorial, el gradiente de una función escalar la transformará en un vector.

Por definición, si $\phi$ es una función escalar de $\phi(x,y,z)$, entonces $\nabla\phi=\frac{\partial \phi}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\mathbf{k}$.

Como ejemplo, si $\phi(x,y,z) = x^2y^3z$, entonces $\nabla \phi = 2xy^3z \mathbf{i} + 3x^2y^2z \mathbf{j}+x^2y^3\mathbf{k}$.