Ideal en el producto de dos anillos de

Question

$R$ $S$ son dos anillos. Deje $J$ un ideal en $R\times S$. Luego hay $I_{1}$, ideal de $R$, e $I_{2}$, ideal de $S$ tal que $J=I_{1}\times I_{2}$.

Para mí es obvio porqué $\left\{ r\in R\mid \left(r,s\right)\in J\text{ for some } s\in S\right\}$ es un ideal de a $R$ (y lo mismo para $S$), por lo que puede resultar $J$ es un subconjunto del producto de dos ideales y también que el producto de estos dos ideales es también un ideal.

Pero no puedo ver cómo probar la igualdad sin asumir la existencia de la unidad o de conmutatividad. Tratando básicamente para demostrar que si $\left(r,s\right)\in J$ también $\left(r,0\right),\left(0,s\right)\in J$.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Si usted tiene una identidad, multiplicando por $(1_R,0)$ $(0,1_S)$ será de ayuda. Si no, entonces el resultado no tiene que ser verdadero. E. g. si coloca el cero de producto en el grupo abelian $\mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_2$, entonces el ideal ($=$subgrupo generado por a $(\overline 1,\overline 1)$ es un contraejemplo.

Answer 2

Lema. Deje $(A_i)_{i=1,\ldots,n}$ a (finito) de la familia de los anillos con $1$. A continuación, los ideales de $A = \prod_{i=1}^n A_i$ son de la forma $I_1 \times \ldots\times I_n$ donde $I_i$ es un ideal de a $A_i$ por cada $i\in\{1,\ldots,n\}$.

Prueba. Por inducción en $n$, en el caso de $n=0$ beeing trivial, uno ve que es suficiente para demostrar la afirmación de $n=2$. Deje $K$ a ser un ideal de un producto $A\times B$ de dos anillos con $1$, y la nota $p : A\times B\to A$ $q : A\times B\to B$ los dos canónica de las proyecciones. A continuación, $I = p^{-1}(K)$ (resp. $J = q^{-1}(K)$) es un ideal de a $A$ (resp. de $B$.) (Esto es en general, la imagen inversa de un ideal de un anillo de morfismos es siempre un ideal.) Obviamente $K\subseteq I\times J$. Para mostrar la inversa de la inclusión, vamos a $(a,b)\in I\times J$. A continuación, $(a,b') \in K$ $(a',b)\in K$ algunos $(a',b')\in A\times B$. Entonces $(a,b) = (1,0)(a,b') + (0,1)(a',b) \in K$. $\square$