¿Por qué considerar funciones cuadrado-integrables?

Question

¿Por qué son importantes las funciones $L^2$? A partir de lo que he leído, tengo tres hipótesis:

• aparecen en la física cuántica (pero, ¿por qué?)
• forman un espacio de producto interno (pero, ¿es eso una "límite estricto" o la clase se puede extender fácilmente a un espacio de producto interno más grande?)
• representan "energía finita", que todo en el mundo obedece

Todo lo que realmente sé es que sigo viendo el término "cuadrado integrable" mencionado como si fuera obviamente importante, obviamente la condición que uno querría imponer, etc. ¿Pero por qué?

Answer 1

La razón por la que surgieron los espacios de funciones cuadrado integrables en primer lugar fue para estudiar las series trigonométricas ortogonales (Fourier). Curiosamente, Parseval ya había notado en 1799 la igualdad que ahora lleva su nombre: $$ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^{2}\,dx = \frac{1}{2}a_{0}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}+b_{n}^{2}, $$ donde $a_{n}$, $b_{n}$ son los coeficientes (Fourier) $$ a_{n}=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\;\;\; b_{n}=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx. $$ Esto surge de las condiciones de ortogonalidad para los términos $\sin(nx)$, $\cos(nx)$ en la serie de Fourier. En ese momento, no se veía una conexión clara entre el espacio euclidiano N y lo anterior; esa conexión tardó décadas en evolucionar. Pero las funciones cuadrado integrables ganaron interés a principios del siglo XIX, especialmente después del trabajo de Fourier a principios del siglo XIX.

Se necesitó algo de tiempo para ver una desigualdad general de Cauchy-Schwarz y empezar a ver una conexión con la geometría, lo que finalmente llevó a la abstracción del espacio de funciones cuadrado integrables de producto interno. La desigualdad de CS no era ampliamente conocida hasta después de la publicación de Schwarz en 1883, a pesar de que esencialmente el mismo resultado fue publicado en 1859 por otro autor. Hilbert propuso su espacio $l^{2}$ a principios del siglo XX como una abstracción del espacio de coeficientes de Fourier cuadrado-sumables, pero también una abstracción del espacio Euclidiano de dimensión finita. La conexión con las funciones cuadrado integrables ya estaba firmemente establecida.

Con retrospectiva, podemos ver buenas razones por las que las funciones cuadrado integrables están relacionadas con la energía y otros conceptos de Física, pero la abstracción parece haber sido dictada más por la resolución de ecuaciones usando condiciones de 'ortogonalidad'. Por supuesto, muchas de las ecuaciones surgieron de la resolución de problemas físicos; por lo que también es difícil separar los dos. Ahora, después del hecho, hay una interpretación de la integral del cuadrado de una función. Por otro lado, la abstracción matemática de tratar con funciones como puntos en un espacio, con distancia y geometría en esos puntos ha tenido consecuencias aún más profundas, y una gran parte del ímpetu para las Matemáticas abstractas y rigurosas modernas.

Nota: Todo esto ocurrió antes de la Mecánica Cuántica.

Referencia: J. Dieudonné, "Historia del Análisis Funcional".

Answer 2

Hay varias razones, nombraste algunas. Necesitas trabajar con el espacio para entender por qué estas cosas son importantes.

Una razón que no mencionaste que las hace muy populares es el hecho de que son muy adecuadas para estudiar ecuaciones diferenciales parciales elípticas, especialmente de segundo orden. Mediante la integración por partes, asumiendo condiciones de contorno cero, el Laplaciano está íntimamente conectado con la integral cuadrada del gradiente

$$ \int \Delta u = \int \langle\nabla u, \nabla u\rangle $$

Esto hace que la integral a la derecha sea un objeto importante de estudio y, naturalmente, se buscarán aquellas funciones para las cuales esta sea finita.

Dado que el Laplaciano es el operador modelo de ecuaciones diferenciales de segundo orden elípticas (lo cual puede ser cierto porque está relacionado con el término en la ecuación anterior, el cual, en cierto sentido, se comporta como un término de energía), esta es una de las razones fundamentales por las cuales estos espacios son tan importantes.

Además, hay una isometría muy fundamental de $L^2$, la transformada de Fourier. Esto también está íntimamente conectado con el estudio de ecuaciones diferenciales parciales elípticas. Como isometría, se comporta particularmente bien en $L^2$ y permite utilizar todo el poder de la teoría de espacios de Hilbert para estudiar ecuaciones diferenciales elípticas.

Answer 3

La definición de $L^p$ funciones está motivada por su comportamiento bajo la operación de integración: Estrictamente hablando, los elementos de $L^p$ no son funciones, sino clases de equivalencia de funciones, donde dos funciones son equivalentes si difieren a lo sumo en un conjunto de medida cero---en otras palabras, las clases de equivalencia solo tienen en cuenta el comportamiento de las funciones bajo la integración y descartan información más detallada.

Ahora, se puede demostrar que el espacio dual de $L^p$ es canónicamente isomorfo a $(L^q)^*$, donde $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$: Explícitamente, podemos identificar cualquier función $f \in L^p$ con el funcional $$g \mapsto \int fg$$ en funciones $g \in L^q$.

Desde este punto de vista, el espacio $L^2$ es especial en que $p = 2$ es el único valor para el cual $p = q$: En particular, el espacio es dual a sí mismo con respecto a la identificación bilineal anterior $L^2 \cong (L^2)^*$, que al dualizar podemos pensar como una forma bilineal simétrica $L^2 \times L^2 \to \mathbb{R}$. En particular, $\int f^2 > 0$ si $f \neq 0$, y así esta forma bilineal es en realidad un producto interno (definido positivo). (Nótese que la formulación de clases de equivalencia es necesaria para esta desigualdad, ya que hay funciones no nulas en algún conjunto de medida cero, es decir, funciones no nulas con integral al cuadrado igual a cero). En resumen, si se quiere trabajar con una clase de funciones en algún espacio $X$ y (1) se está principalmente preocupado por la integrabilidad en $X$ y (2) desea una identificación natural del espacio con su dual, se llega muy rápidamente al entorno de $L^2$. Se obtiene una buena cantidad de estructura adicional en este entorno de forma gratuita, incluyendo una isometría canónica de $L^2$ consigo mismo, la transformada de Fourier (esto también se puede formular en otros entornos pero es particularmente agradable aquí), pero quizás esto ya sea publicidad suficiente.

Esta es una explicación (quizás insatisfactoria) de por qué esta clase aparece en MQ---en este entorno se necesita un producto interno (autodualidad) en el espacio de funciones de onda para poder formular probabilidades y valores esperados de acciones de operadores.

Answer 4

En QM una onda $\psi$ extrañamente da toda la información de una partícula y $|\psi|^2$ representa la probabilidad de encontrar esa partícula (como $|I|^2$ es la probabilidad en la teoría EM). Cuando la probabilidad total es unidad, $||\psi||_2=1$, tenemos la primera conexión con las funciones de $L^2$. Como QM es fundamentalmente probabilística, solo podemos tratar con valores esperados: $$\=\int f(x)|\psi|^2 dx$$ De nuevo, dado que el valor esperado físico debe ser finito, demandamos $$\int f(x)|\psi|^2 dx \leqq ||f||_2||\psi||_2=||f||_2 <\infty$$ Entonces de nuevo $f\in L^2$ es de suma importancia para la teoría.

Por ejemplo, para el potencial de Coulomb: $$\=<\frac{-ke^2}{|x|}>=-ke^2 \int_{R^3} \frac{1}{|x}|\psi|^2dx$$

La transformada de Fourier en $L^2$ es importante para QM, ya que nos da operadores. Si uno considera una partícula como un paquete de ondas entonces sabemos que la transformada $\hat \psi$ es la amplitud de probabilidad para el momentum y $|\hat \psi|^2$ es la probabilidad correspondiente (debido a la isomorfia $\psi \rightarrow \hat \psi$ asegura que $\hat \psi$ contiene la misma información que $\psi$ y debido a la relación de Parseval $||\hat \psi||_2=||\psi||_2=1$). Ahora podemos calcular esos complicados valores esperados para el momentum $p$: $$

\=\int_{R^3} p|\hat \psi|^2dp=\int_{R^3} -i\hbar\frac{d}{dx}\psi \centerdot \overline{\psi} dx$$ $$\=<\frac{p^2}{2m} >=\int_{R^3} \frac{p^2}{2m}|\hat \psi|^2dp=\int_{R^3} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi \centerdot \overline{\psi} dx=\frac{{\hbar}^2}{2m}\int_{R^3} |\nabla \psi|^2dx$$

Para obtener resultados físicos necesitamos nuevamente la teoría de $L^2$:

El valor esperado más bajo para el átomo de hidrógeno, que es la suma del valor esperado para la energía cinética y el potencial de Coulomb: $$\text {inf}\=\text {inf}(\frac{{\hbar}^2}{2m}\int_{R^3} |\nabla \psi|^2dx-ke^2 \int_{R^3} \frac{1}{|x|}| \psi|^2dx)$$

Teorema . Si tanto $f$ como $\nabla f$ pertenecen al espacio $L^2 (R^3)$ entonces la siguiente desigualdad se cumple: $$\int_{R^3} \frac{1}{|x|}| f|^2dx \leqq ||\nabla f||_2 || f||_2$$

[¡Te divertirás mucho probando eso!]

Cuando insertas ese teorema en $\text {inf}$ todo se reduce a minimizar la expresión: $$\frac{{\hbar}^2}{2m}||\nabla \psi||^2_2 -ke^2||\nabla \psi||_2$$

Manteniendo $||\nabla \psi||_2$ como una variable puedes usar cálculo elemental para encontrar el resultado físico fundamental, la energía del estado base para el hidrógeno: $$\text {inf}\=-k^2me^4/2\hbar^2.$$ Ahora tienes $||\nabla \psi||_2=kme^2/\hbar^2$ y $\text {inf}\=-k^2me^4/2\hbar^2$, entonces puedes ponerlos de vuelta en la igualdad del valor esperado: $$-k^2me^4/2\hbar^2=\frac{{\hbar}^2}{2m}\centerdot (kme^2/\hbar^2)^2 - ke^2 \int_{R^3} \frac{1}{|x|}| \psi|^2dx$$ Tienes $$<\frac{1}{ |x|}>=\int_{R^3} \frac{1}{|x|}| \psi|^2dx=kme^2/\hbar^2=1/a_0$$ ¡Eso es, el radio de Bohr! $$a_0=\frac{\hbar^2}{kme^2}.$$

Answer 5

Otro caso de la física es el conjunto de ecuaciones de Maxwell en el vacío. Allí la energía \begin{equation*} \mathcal{E}(t)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{3}}d\mathbf{x}\{\mathbf{E(x},t% \mathbf{)}^{2}+\mathbf{B(x},t\mathbf{)}^{2}\} \end{equation*> se conserva, es decir, no depende de $t$, lo cual se obtiene fácilmente para funciones de campo suaves $\mathbf{E(x},t\mathbf{)}$ y $\mathbf{B(x},t\mathbf{)}$. Adoptando un entorno $L^{2}$, esto puede ser luego extendido a campos generalmente cuadrados integrables. Luego, las ecuaciones de Maxwell pueden ser expresadas como una evolución unitaria en $\mathcal{H}=L^{2}(d\mathbf{x},\mathbb{R}^{3},\mathbb{C}^{6}).$ Casos más generales como dieléctricos lineales también pueden ser tratados.