Ejemplo de operador compacto

Question

Sea $E=l^p=\left\{x=\left(x_n\right): x_n\in\mathbb{R}, \sum_{1}^{\infty}\left|x_n\right|^p<\infty\right\}$ con $1\le p<\infty$, $\left\|x\right\|_E=\left(\sum_{1}^{\infty}\left|x_n\right|^p\right)^{1/p}.$ Sea $\left(\lambda_n\right)$ una secuencia acotada en $\mathbb{R}$ y considera el operador $T$ definido por $$T(x)=\left(\lambda_1x_x,\ldots,\lambda_nx_n,\ldots\right)$$ donde $x\in l^p$.
Demuestra que $T$ es un operador compacto de $E$ en $E$ si y solo si $\lambda_n\rightarrow 0$.

¿Alguien puede darme algunos consejos para resolver este problema? ¡Gracias!

Answer 1

Pista para $\implies$: Si $\lambda_n \not \to 0,$ entonces para algún $\epsilon>0,|\lambda_{n_k}| > \epsilon$ a lo largo de una subsecuencia $n_k.$ Considerando $e_n$ como el vector "base" usual, considera la secuencia $e_{n_k}$ en la bola unitaria de $l^p$ y sus imágenes bajo $T.$