Demostrando el complemento de conjuntos

Question

Sea U el universo y sea A un subconjunto de U. Entonces, demuestra:

a. $A$ $\cup$ $A^c$= $U$

b. $A$ $\cap$ $A^c$=$\emptyset$

Prueba:

a. Sea $x$ $\in$ $A$ $\cup$ $A^c$ $\Rightarrow$ $x$ $\in$ $U$

Entonces $x$ $\in$ $A$ o $x$ $\in$ $A^c$ $\Rightarrow$ $x$ $\in$ $U$

Por definición, el complemento de un conjunto $A$ es $A^c$ = $U$ $-$ $A$ donde $x$ $\in$ U y $x$ $\notin$ $A.

Se sigue que $x$ $\in$ $A$ o $x$ $\in$ U y $x$ $\notin$ $A$ $\Rightarrow$ $x$ $\in$ $U$

Así se demuestra que $x$ $\in$ $U$ y $A$ $\cup$ $A^c$= $U$.

$\blacksquare$

b. Sea $x$ $\in$ $A$ $\cap$ $A^c$ $\Rightarrow$ $x$ $\in$ $\emptyset$

Entonces $x$ $\in$ $A$ y $x$ $\in$ $A^c$ $\Rightarrow$ $x$ $\in$ $\emptyset$

Según la definición del complemento de A, se deduce que $x$ $\notin$ $A$.

La intersección es vacía y por lo tanto $x$ $\in$ $\emptyset$.

$\blacksquare$

Estas son mis pruebas. Agradecería mucho si alguien las revisa para ver si me he olvidado algo.

Answer 1

Parece que estás en el camino correcto, pero creo que estás confundiendo diferentes notaciones o conceptos. Al final de (b), afirmas que $x \in \emptyset$, pero $\emptyset$ no contiene elementos.

Las definiciones de complementos, uniones ($\cup$) e intersección ($\cap$) nos dan:

$A^c = \{x: x\notin A\} $

$A \cup B = \{x:x \in A \; o \; x \in B\}$ (ambos pueden ser ciertos)

$A \cap B = \{x:x \in A \; y \; x \in B \}$.

En (a) tienes $A \cup A^c = \{x:x \in A \;\; o \;\; x \in A^c \}$. Si tomamos cualquier $x \in U$, uno de estos debe ser cierto (por la ley del medio excluido). Por lo tanto, $A \cup A^c = U$.

En (b), lo que quieres hacer es probar que no hay elementos en $A \cap A^C$. Usando la definición, tienes $A \cap A^c = \{x:x \in A \;\; y \;\; x \in A^c \}$, lo cual no se cumple para ningún $x$ (por la ley de no contradicción). Por lo tanto, $A \cap A^c = \emptyset$.