Me preguntaba por qué el álgebra de Borel $B(X)$ está definida como la sigma-álgebra más pequeña que contiene todos los subconjuntos abiertos de X. Si contiene todos los subconjuntos, ¿cómo puede cualquier otra sigma-álgebra tener más subconjuntos? Me pregunto por qué se usa la palabra 'más pequeña' en la definición.
Respuesta
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No tiene que incluir todos los subconjuntos de $X$. Podemos demostrar, en el caso de $\Bbb R$ por ejemplo, que los conjuntos de Borel es una colección cuya cardinalidad es la misma que $\Bbb R$. Dado que el teorema de Cantor nos dice que hay muchos más subconjuntos de $\Bbb R$, se sigue que la mayoría de los subconjuntos no son conjuntos de Borel.
Para ver un ejemplo mucho más degenerado, consideremos cualquier espacio con la topología trivial. Sus subconjuntos de Borel son los conjuntos abiertos, $\varnothing$ y $X$ mismo.
