¿El producto de dos matrices definidas positivas tiene valores propios reales y positivos?

Question

Dados dos matrices reales, definidas positivas (y por lo tanto, simétricas) $A$ y $B$, ¿son todos los autovalores de $AB$ reales y positivos?

• Wikipedia dice que $AB$ es definida positiva si $A$ y $B$ son definidas positivas y conmutan, pero no necesito que $AB$ sea simétrica.
• Entre líneas de esta pregunta el usuario que pregunta de alguna manera prueba que sí, "los autovalores de $AB$ son por lo tanto reales y estrictamente positivos" pero no pude entender si eso se confirma en la respuesta.

Answer 1

Si llamamos $B^{1/2}$ a la matriz simétrica tal que $B^{1/2}B^{1/2}=B$ (es decir, la raíz cuadrada estándar de una matriz definida positiva) entonces $$ AB=AB^{1/2}B^{1/2}=B^{-1/2}(B^{1/2}AB^{1/2})B^{1/2}, $$ es decir, $AB$ es similar a la matriz definida positiva $B^{1/2}AB^{1/2}$, compartiendo todos los eigenvalores. Hace que los eigenvalores de $AB$ sean positivos.