Aproximación de una Función Hipergeométrica Generalizada

Question

¿Existe alguna aproximación con una "función elemental" para la siguiente función hipergeométrica generalizada, especialmente para valores muy grandes de $n$ y $0 < p < 1$? Quiero decir, sin usar binomios u otras funciones especiales.

$_3F_2 \left(1, 1, 1-n; 2, 2; \frac{p}{p-1}\right)$

Answer 1

Para simplificar, escribimos $z=p/(p-1)$ y asumimos $p<1/2$ para tener $-1 y $1-z=\frac{1}{1-p}.$ Entonces $$F_n(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1-n)_k}{k!}\frac{z^k}{(k+1)^2}.$$ Entonces $$[z(zF_n(z))']'=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1-n)_k}{k!}z^k=(1-z)^{n-1}.$$ Esto implica que $$z(zF_n(z))'=\frac{1}{n}(1-(1-z)^n)$$$$ zF_n(z)=\frac{1}{n}\int_0^z\frac{1-(1-t)^n}{t}dt=\frac{1}{n}\int_{1-z}^1\frac{1-u^n}{1-u}du=\frac{1}{n}\int_{1-z}^1\sum_{k=0}^{n-1}u^kdu$$ Por lo tanto $$F_n(z)=\frac{1}{nz}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}(1-(1-z)^k)=\frac{1-p}{np}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\left(\frac{1}{(1-p)^k}-1\right)$$

Ahora la aproximación, usando el siguiente lema: si $R>1$ entonces $$\sum_{k=1}^n\frac{R^k}{k}\sim_{n\to \infty}\frac{R^n}{n}\times \frac{R}{R-1}.$$Prueba: $$\sum_{k=1}^n\frac{R^k}{k}=\frac{R^n}{n}\times \sum_{k=0}^{n-1}\frac{n}{n-k}\frac{1}{R^k}\leq \frac{R^n}{n}\times \sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\frac{1}{R^k}$$ Por lo tanto, por convergencia dominada $$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n}{n-k}\frac{1}{R^k}\to_{n\to \infty}\frac{R}{R-1}.$$ Concluimos aplicando el lema a $R=1/(1-p).$ Podemos ignorar el término $\frac{1}{n}\sum_1^n\frac{1}{k}\sim \frac{\log n}{n}\to 0$ y escribir$$F_n(\frac{p}{p-1})\sim \frac{1-p}{p^2n^2}\times \frac{1}{(1-p)^n}.$$

Finalmente, para descartar la hipótesis $p<1/2$, se ha hecho para garantizar la convergencia de la serie $F_n(z)$. Pero el cálculo ha mostrado que $F_n(z)$ es en realidad un polinomio y todo lo anterior es válido para todos los $z$, en particular para todos los $0