Define una funcional $J$ como $J[f] = f'(x_0)$ donde $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f'=\frac{\partial f}{ \partial x }$ y $x_0$ es un punto fijo particular en $\mathbb{R}$. (es decir, dada cualquier función, la funcional $J[f]$ evalúa $f'$ en un punto fijo $x_0$). Podemos escribir $J[f]$ como
$$ J[f] = \int_{x_1}^{x_2} \delta(x-x_0) f'(x) dx $$ donde $x_0 \in [x_1, x_2]$ y $\delta$ es la función delta de Dirac.
Pregunta: ¿Cuál será la derivada funcional de $J[f]$ con respecto a $f$? $$ \frac{ \delta J }{ \delta f } = \; ? $$ Aquí, $\delta$ es la derivada funcional.
Para encontrar la derivada funcional, podemos comenzar con lo siguiente.
\begin{align} \int \frac{ \delta J }{ \delta f } (x) \phi(x)dx &= \left[ \frac{d}{d \epsilon } J[f + \epsilon \phi] \right]_{\epsilon=0} \\ &= \left[ \frac{d}{d \epsilon } \int \delta(x - x_0)(f'(x) + \epsilon\phi '(x))dx \right]_{\epsilon=0} \\ &= \int \delta(x - x_0)\phi '(x)dx \end{align}
Problema: ¿Cómo procedemos más adelante? He revisado algunos ejemplos de derivada funcional (se puede consultar la página de Wikipedia sobre derivada funcional para ejemplos). Convirtieron el término en la integral del lado derecho de la ecuación anterior en 2 partes. Una parte es $\phi(x)$ y la otra parte es independiente de $\phi$ que es igual a $\frac{ \delta J }{ \delta f }$ (por comparación con el lado izquierdo) pero en este caso, al adaptar un enfoque similar me está dando $\frac{ \delta J }{ \delta f }$ que depende de $\phi$.
Se aceptan cualquier idea. Gracias de antemano.
