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La integridad, la estoy escribiendo más detailes de la solución sugerida por
Qiaochu:
Denotar por $G$ el grupo de isometría $(V,\|\cdot\|)$. $G\subseteq \text{End}(V)$. En $\text{End}(V)$ tenemos el operador de la norma $\| \|_{op}$ (w.r.t determinada norma $\|\cdot\|$), lo que induce a una topología en $\text{End}(V)$.
Lema 1: $G$ es compacto en $\text{End}(V)$
Prueba: $\text{End}(V)$ es un finito dimensional normativa espacio, por lo tanto es linealmente homeomórficos a $\mathbb{R}^n$ (de hecho Esto es cierto para cada finito dimensioanl real topológico espacio vectorial). Así, el Heine-Borel teorema especial. (Todo cerrado y limitado subconjunto compacto).
$G$ es limitada ya que para cada isometría $g\in G, \|g\|_{op}=1$, por lo tanto $G$ está contenida en la unidad de la esfera de $(\text{End}(V),\| \|_{op})$ .
$G$ se cierra: Suponga $g_n \rightarrow g,g_n\in G$. Corregir algunos $v\in V$. $\|g_n(v)-g(v)\|_V\leq \|g_n-g\|_{op}\cdot\|v\|_V \xrightarrow{n\to\infty} 0$.
Por lo $g_n(v)\xrightarrow{n\to\infty}g(v)$. Ahora por la continuidad de la norma $\| \cdot \|$ (w.r.t a la topología que se induce en $V$), llegamos a que:
$\|v\| \stackrel{g_n isometry}{=} \|g_n(v)\|\xrightarrow{n\to\infty}\|g(v)\|$. Esto obliga a $g$ es una isometría.
Corollary1: $G$ es localmente compacto Hausdorff topológico grupo.
Prueba: $\text{End}(V)$ es Hausdorff (Cualquier espacio métrico es...), y cada subespacio de Hausdorff también es Hausdorff. Es sdandard hecho de que $GL(V)$ es un grupo topológico (t.g), y cualquier subgrupo de un t.g es un t.g.
Ahora, existe una izquierda-invariante de medida $\mu$ sobre el Borel $\sigma$-álgebra de $G$ tal que $\mu(G)>0$. (Esta es la medida de Haar que puede ser construido en cualquier localmente compacto Hausdorff topológico grupo).
Ahora tomar cualquier producto interior $\<,\>$$V$. Fix $v,w \in V$. Definir $f_{v,w}:G\rightarrow \mathbb{R},f_{v,w}(g)=\<gv,gw\>$.
Lema 2: $f_{v,w}$ es continua
Prueba: Desde $G$ es un espacio métrico (un subespacio de la normativa espacio de $\text{End}(V)$) es suficiente para comprobar la continuidad secuencial. Tomar
$g_n \rightarrow g,g_n\in G$. Ya nos mostró esto implica $g_n(v)\xrightarrow{n\to\infty}g(v)$ por la continuidad del producto interior $f_{v,w}(g_n)=\<g_nv,g_nw\> \xrightarrow{n\to\infty} f_{v,w}(g) $.
En particular, $f_{v,w}$ es medible, por lo que podemos integrar. (Compacidad de $G$ implica $f_{v,w}$ es acotado, y $G$ ser finito medir el espacio garantiza la integral será finito).
Entonces definimos: $\<v, w \>' = \int_G f_{v,w} \, d\mu = \int_G \< gv, gw \> \, d\mu$.
Ahora todo lo que queda es mostrar a $\<, \>'$ es un producto interior en $V$ que es presrved por cada una de las $h\in G$. (ya que esto significa $G=\text{ISO}(V,\|\cdot\|) \subseteq \text{ISO}(V,\<, \>')$ como se requiere.
Lema 3: $\<,\>'$ es un producto interior.
La única que no es cosa trivial es positivo-definición. (El resto se sigue de la linealidad de la $g\in G$ y el integral, y el bilinearity de $\<,\>$). Pero esto se desprende de estándar de la teoría de la medida:
Revisión $v\neq 0$. $f_{v,v} > 0$ en $G$ (ya que cada una de las $g\in G$ es inyectiva, y el original del producto interior es positivo).
Pero esto obliga a $\<v,v\>'>0$ como se requiere.
Lema 4: $\<, \>'$ $G$- invariante.
Pero esto se desprende de otra norma propuesta en la teoría de la medida:
(Consulte "Real Analaysis" por H. L. Royden) capítulo 22 pg 488 de la proposición 10).
