¿Qué es la "topología inducida por una métrica"?

Question

Mi libro da la siguiente definición:

Sea $(M,d)$ un espacio métrico, y sea $\mathcal{T}$ la colección de todos los subconjuntos de $M$ que son abiertos en el sentido métrico... $\mathcal{T}$ se llama la topología generada por d

Luego más adelante dice que para probar cosas sobre dos métricas diferentes que generan la misma topología. Sin embargo, estoy muy confundido sobre lo que todo esto significa.

Cuando leo "todos los subconjuntos," pienso en el teorema que dice que un conjunto con $n$ elementos tendrá $2^n$ subconjuntos. (por ejemplo, todos los subconjuntos de $\{1,2,3\}$ son $\{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\} \}$). Entonces pienso que "todos los subconjuntos que son abiertos" sería como, Si M es el conjunto (1,5), entonces un subconjunto abierto sería cualquier conjunto $(a,b)$ donde $1

Parece que las métricas no tienen nada que ver con los subconjuntos. Claramente hay algo que no estoy entendiendo. Por favor, ayúdenme.

Sería muy esclarecedor si alguien pudiera darme algunos ejemplos simples de 1 conjunto y 2 métricas generando dos topologías diferentes.

Answer 1

Comencemos con la siguiente definición:
En un espacio métrico $(M,d)$, podemos decir que $S$ es un conjunto abierto (con respecto a la topología inducida por $d$) si para cada elemento $s\in S$, existe $\epsilon >0$ tal que la bola $$ B(s,\epsilon)=\{ x\in M\mid d(x,s)<\epsilon\}\qquad \text{ satisface }\qquad B(s,\epsilon)\subset S.$$ Esto significa que si puedes poner una pequeña bola abierta (definida por la métrica) alrededor de cualquier elemento de $S$, entonces es abierto.

También podemos decir que $\bar s$ se encuentra en el borde de $S$, es decir, $\bar s\in\partial S$, si para cada $\epsilon >0$ tenemos $B(\bar s,\epsilon)\cap S \neq \emptyset$ y $B(\bar s,\epsilon)\cap (M\setminus S)\neq \emptyset$.

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Una pequeña ilustración

Fijamos $M=\Bbb R^2$:
En la izquierda: La métrica es la inducida por la distancia euclidiana (la que experimentamos cada día). Con esta métrica tenemos $$B_1(s,\epsilon)=\{x\in\Bbb R^2\mid \|x-s\|_2<\epsilon\}$$ y se parece a un círculo de radio $\epsilon$ centrado en $s$. El conjunto ${\color{blue}{\text{$S$ es cerrado}}}$, su borde, $\delta S$ está en azul oscuro. El punto negro está en el interior (azul claro) de $S$ porque podemos encontrar una pequeña bola completamente contenida en $S. Nota que el interior de $S$ siempre es un conjunto abierto. El punto amarillo no está en $S$ y el punto rojo está en $\partial S$ porque cada bola centrada en él contiene un punto dentro y otro fuera de $S$.

En la derecha: Aquí las cosas son muy diferentes. Como ya propuso @Dominik, la métrica considerada es la métrica discreta. En este caso tenemos $$ B_2(s,\epsilon)=\begin{cases} \{s\} & \text{si } \epsilon <1\\ \Bbb R^2 &\text{si no}\end{cases}.$$ En particular, se sigue que cada punto en $s$ está en el interior de $S$. Esto se debe a que para cada $s\in S$, existe un $\epsilon=1/2>0$ tal que $B(s,\epsilon)=\{s\}\subset S$, es decir, podemos encontrar una bola de radio $>0$ centrada en $s$ completamente contenida en $S$. Se sigue que, en este caso, ${\color{blue}{\text{$S$ es abierto}}}$. Resulta que cada conjunto en $M$ es abierto con esta métrica. De hecho, también todos son cerrados (su complemento es abierto).

Ahora, veamos qué sucede cuando algunas métricas son equivalentes.
En la izquierda: Aquí la métrica es inducida por la norma infinita $\|\cdot \|_{\infty}$ y las bolas se expresan como $$B_3(s,\epsilon)=\{x\in\Bbb R^2\mid \max_{i} |x_i-s_i|<\epsilon\},$$ y esto es un cuadrado centrado en $s. Observa que el amarillo está afuera, el negro está adentro y el rojo está en el borde de $S$ por la misma razón que arriba para $d_1$. En este caso, ${\color{blue}{\text{$S$ es cerrado}}}$.

En la derecha: Esto muestra que un conjunto $S$ es abierto con respecto a $d_1$ si y solo si lo es con respecto a $d_3$. Para la intuición: para cualquier círculo con diámetro positivo, puedes encontrar un cuadrado con diámetro positivo y estrictamente contenido en el círculo. Por ejemplo un cuadrado que es $5$ veces más pequeño. Por otro lado, dado un cuadrado puedes encontrar un círculo contenido en el cuadrado, digamos $42$ veces más pequeño. En términos matemáticos: $$ B_3\Big(s,\frac{\epsilon}{5}\Big) \subset B_1(s,\epsilon) \qquad \text{y}\qquad B_1\Big(s,\frac{\epsilon}{42}\Big) \subset B_3(s,\epsilon) \qquad \forall \epsilon >0.$$ En particular esto muestra que para cada $x\in M$ tenemos $$\exists \epsilon >0 \text{ tal que } B_1(x,\epsilon)\subset S \qquad\iff\qquad\exists \epsilon >0 \text{ tal que } B_3(x,\epsilon)\subset S.$$ Por lo tanto, $S$ es abierto con respecto a $d_1$ si y solo si lo es para $d_3$. En particular esto implica que las topologías inducidas son las mismas. Nota también que la propiedad de estar en $\partial S$ es también idéntica para ambas métricas. Más generalmente, cada métrica inducida por una norma (como $d_1$ y $d_3$) en un espacio de dimensión finita induce la misma topología que la inducida por la norma euclidiana.

Answer 2

Un subconjunto $A \subset M$ es abierto en el sentido del espacio métrico, si para cada $x \in A$ existe un $\epsilon > 0$ tal que la bola abierta $B_\epsilon(x)$ es un subconjunto de $A$. Básicamente esto significa que un conjunto es abierto si y solo si cada punto tiene un vecindario pequeño que está completamente en $A$.

Ahora $\mathcal{T}$ se refiere a la colección de todos los subconjuntos de $M$ que son abiertos. Esto significa $$\mathcal{T} = \{A \subset M \; | \; A \text{ es abierto en el sentido del espacio métrico}\}.$$

En general, $\mathcal{T}$ es diferente del conjunto de todos los subconjuntos de $M$. Por ejemplo, considera los números reales con la distancia euclidiana como métrica. Entonces el conjunto $\{0\}$ es un subconjunto de $\mathbb{R}$, pero no es un subconjunto abierto.

Los números reales son un ejemplo de un espacio en el que hay dos métricas que definen topologías diferentes. La métrica euclidiana induce la llamada "topología estándar" en $\mathbb{R}$ que probablemente conoces del análisis. Otra métrica posible es la métrica discreta. Es fácil ver que en este caso especial, todos los conjuntos $A \subset \mathbb{R}$ son abiertos, ya que uno puede verificar fácilmente que para cada $x \in A$ tenemos $B_{\tfrac{1}{2}}(x) = \{x\} \subset A$.

Answer 3

Al principio tomamos un espacio métrico $(M,d)$ luego, a partir de la colección de todas las bolas $\varepsilon$-bola $B(x,\varepsilon)$ creamos una base y después de hacer la base, generamos la base y obtenemos la topología métrica.