Secuencia con subconjuntos convergentes pero sin subsecuencias convergentes

Question

Podemos considerar una secuencia como un tipo especial de red. Pero la definición de "subred" es más flexible que la de "subsecuencia", por lo que es fácil encontrar subredes de una secuencia que no son subsecuencias.

De hecho, si $X$ es un espacio topológico compacto que no es secuencialmente compacto, como

$$ X = \prod_{x \in \mathbb{R}} [0,1] \; ,$$

podemos tener una secuencia en $X$ que no tiene subsecuencias convergentes, ¡pero debe tener subredes convergentes! Siempre he encontrado este fenómeno misterioso.

¿Alguien puede describir, lo más explícitamente posible, una secuencia en algún espacio topológico que no tenga subsecuencias convergentes, pero tenga una subred convergente?

¿Encontrar un ejemplo requiere el axioma de elección, o hay uno 'explícito'?

Answer 1

Doy un ejemplo explícito aquí: sea $X = \{0,1\}^I$ donde $I = \{0,1\}^\mathbb{N}$. Este es un espacio compacto por el teorema de Tychonoff, por lo que cada red tiene una subred convergente.

Si denotamos para $i \in I$ y $n \in \mathbb{N}$ por $\pi_n(i)$ la coordenada $n$-ésima de la secuencia (o función) $i$, entonces la secuencia requerida es $(f_n)_n$, donde todos los $f_n : I \to \{0,1\}$ están dados por $f_n(i) = \pi_n(i)$ para todo $i \in I$.

En la respuesta enlazada doy un argumento de diagonalización de por qué ninguna subsecuencia de $(f_n)$ puede converger en $X$ (es decir, puntualmente).

Creo que una subred convergente de $(f_n)$ (que existe por la compacidad) probablemente implicará algún ultrafiltro en $\mathbb{N}$, por ejemplo, y por lo tanto no será tan explícita.