Límite de secuencias en $\ell^2$

Question

Deje $\ell^2$ sobre $\mathbb{C}$

Deje $h \in \ell^2$ tal que $\forall n \in \mathbb{N}: h_n \neq 0$ donde $h_n$ es el número enésimo en $h$

Deje $\{v_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de puntos en $\ell^2$ tal que $v_m \to h$ en norma

Deje $\{u_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de puntos en $\ell^2$ tal que $u_m \to h$ en norma

Denotamos $v_{m,n}$ el número enésimo en $v_m$ y $u_{m,n}$ el número enésimo en $u_m$

Me gustaría saber si es cierto que $$ \lim_{m \to \infty} \dfrac{v_{m,m}}{u_{m,m}} =1 $$

Gracias.

Answer 1

La secuencia $h = (1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...)$ está en $\ell^2$. Podemos aproximar esta secuencia en $\ell_2$ tanto con $v_m = h + \frac{1}{m}(1,1,....,1,0,0,...)$ (exactamente $m$ primeras entradas son $1$) y de manera similar con $u_m = h + \frac{1}{m^2}(1,1,...,1,0,0,...)$ (similarmente aquí), ya que $$ \|h-v_m\|_2^2 = \sum_{k=1}^m \frac{1}{m^2} = m \cdot \frac{1}{m^2} =\frac{1}{m} \to 0$$ y $$ \|h-u_m\|_2^2 = \sum_{k=1}^m \frac{1}{m^4} = m \cdot \frac{1}{m^4} = \frac{1}{m^3} \to 0.$$

Pero, vemos que $v_{m,m} = \frac{2}{m}$, $u_{m,m} = \frac{1}{m} + \frac{1}{m^2}$ lo que nos da $\frac{v_{m,m}}{u_{m,m}} = \frac{2}{1+\frac{1}{m}} \to 2$. Fácilmente se puede modificar lo anterior para obtener cualquier valor como límite