¿Es el término de tercer orden de una aproximación de Taylor un tensor covariante de rango 3 restringido a (h, h, h)?

Question

Al leer recientemente el texto de álgebra lineal de Peter Lax, tuvo una forma muy concisa de escribir la aproximación de Taylor hasta el segundo orden: $f(x+h) = f(x) + l(h) + \frac{1}{2}q(h) + \|h\|^2 \epsilon(\|h\|)$, donde $l$ es un funcional lineal, $q$ es una forma cuadrática y $\epsilon \to 0$ a medida que $h\to 0.

¿Cómo describiríamos el término de tercer orden de la aproximación como una función de $h$? No podría representarse como una matriz, de la misma manera en que se puede con una forma bilineal; creo que necesitaríamos un array 3D. Parece que podríamos expresarlo como un polinomio homogéneo de grado 3 en $h_1, \dotsc, h_n$. ¿Estoy en lo cierto al decir que también es un tensor covariante de rango 3, restringido para que tome argumentos $(h,h,h)$, de manera que sea de la forma $\left(\sum\limits_{I\in \{1,\dotsc,n\}^3}a_I\varepsilon^*_I \right)(h,h,h)$? ¿Hay algún nombre para algo así?

Answer 1

Sí, esta es la expansión de Taylor multivariante. Para derivar los términos (de cualquier orden que desees) simplemente introduces una línea $a+th$ en una función multivariante $f$ para obtener una función de una sola variable $g(t)=f(a+th)$ a la cual se aplica la expansión de Taylor univariante. Después de eso, la aplicación sistemática de la regla de la cadena multivariante revela la expansión que buscas. Simplemente establece $t=1$ y obtendrás $f(a+h)=f(a)+f'(a) \cdot h + \cdots $. Hay una variedad de formas interesantes de expresar la fórmula. La que tengo en mis notas para funciones de dos variables $x=x_1$ y $y=x_2$ centradas en $(a_1,a_2)$ es la siguiente: $$ f(x, y) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{i_1=0}^{n}\sum_{i_2=0}^{n} \cdots \sum_{i_n=0}^{n} \frac{1}{n!} \frac{\partial^{(n)}f(a_1,a_2)}{\partial x_{i_1}\partial x_{i_2} \cdots \partial x_{i_n}} (x_{i_1} -a_{i_1})(x_{i_2} -a_{i_2})\cdots (x_{i_n} -a_{i_n}) $$ La fórmula para funciones de tres o más variables es similar. No conozco un nombre en particular para la pieza de tercer orden. Intuitivamente, se vuelve importante cuando la expansión es trivial hasta el segundo orden y aún así es no trivial. En ese caso, es el término dominante (localmente). Por supuesto, no tengo una idea particular de cómo se parece el gráfico de algo así. En contraste, el término de segundo orden está bien capturado por la teoría de las formas cuadráticas.