Valor esperado de un valor esperado

Question

Estoy mirando una prueba de que $\text{Var}(X)= E((X - EX)^2) = E(X^2) - (E(X))^2$

$E((X - EX)^2) =$

$E(X^2 - 2XE(X) + (E(X))^2) =$

$E(X^2) - 2E(X)E(X) + (E(X))^2)$

No puedo ver cómo la segunda línea puede ser igual a la tercera línea. Habría tenido lo siguiente para la tercera línea -

$E(X^2) - E(2XE(X)) + E((E(X))^2))$

Lo cual parece muy desordenado... Debe haber algo que no estoy entendiendo sobre las propiedades de los valores esperados?

Answer 1

Hay algunas cosas que puedes cancelar en la tuya.

$(E((E(X)))^{2}=(E(X))^{2}$, ya que el valor esperado de un valor esperado es simplemente eso. Deja de ser aleatorio una vez que calculas un valor esperado, por lo que la iteración no cambia.

Además, $-E(2XE(X))=-2E(XE(X))=-2E(X)E(X)$ El primer paso aquí es simplemente un factor constante. Por la misma razón, en el segundo paso, vemos que $E(X)$ en realidad era una constante en este punto, no aleatorio en absoluto, por lo que también se puede factorizar.

Answer 2

Tu paso intermedio es correcto. Todo lo que necesitas darte cuenta es que $E(X)$ es un número, no una variable aleatoria, por lo que puedes tratarlo como cualquier otra constante, como $2$ o $4. Es decir, $E(Y \cdot E(X)) = E(X) E(Y)$, tal como escribirías $E(Y \cdot 2) = 2 E(Y)$.

Answer 3

$E(X^2-2XE(X)+(E(X))^2)=E(X^2)-E(2XE(X))+E((E(X))^2)$

$=E(X^2)-E(X)E(2X)+(E(X))^2$.

El segundo término es así porque $E(X)$ es una constante, y la esperanza de una constante es la constante misma (igual para el último término ($E(X))^2$)

$=E(X^2)-2(E(X))^2+(E(X))^2=E(X^2)-(E(X))^2$