Dos posibles definiciones de "distribución vectorial"

Question

Sea $X$ un espacio de Banach real reflexivo, el caso complejo debería ser totalmente análogo. Define $$\tag{1} \mathcal{D}^\star(0, T; X)=\left\{ u\colon \mathcal{D}(0, T)\to X\ \text{lineal y continua}\right\} $$ donde la topología en $\mathcal{D}(0, T)$, el espacio de funciones de prueba reales, es la usual en la teoría de distribuciones.

Ahora define $$ \tag{2} \left[\mathcal{D}(0, T; X^\star)\right]^\star = \left\{u \colon \mathcal{D}(0, T; X^\star)\to \mathbb{R}\ \text{lineal y continua}\right\}, $$ donde $\mathcal{D}(0, T; X^\star)$ denota el espacio de las suaves $f\colon (0, T)\to X^\star$ tales que el soporte $\operatorname*{Supp}(f)$ es compacto. Equipamos este espacio vectorial con el análogo obvio de la topología de $\mathcal{D}(0, T)$. Precisamente, consideramos la topología única $^{[1]}$ de manera que, si $\phi_n, \phi\in \mathcal{D}(0, T; X^\star)$ entonces $\phi_n\to \phi$ es equivalente a $$ \begin{cases} \operatorname*{Supp}\phi_n \subset [a, b]\subset (0, T),\ \text{para }a,b\ \text{fijos};\\ \left\lVert \frac{d^k \phi_n}{dx^k}-\frac{d^k\phi}{dx^k} \right\rVert_{\infty} \to 0,\quad\forall k\in \mathbb{N}. \end{cases} $$

Ambas definiciones dan lugar a algo que podría llamarse razonablemente "espacio de distribuciones de valores $X$".

Pregunta. ¿Son isomorfos estos dos espacios?

Ejemplo.

Sea $X=\mathbb{R}^n$ y considera una función continua $\boldsymbol{u}\colon (0, T)\to \mathbb{R}^n$. (La fuente en negrita se refiere a funciones de valores vectoriales). Las dos definiciones anteriores dan lugar a las siguientes dos representaciones de $\boldsymbol u$ como una distribución de valores vectoriales. Usando la definición (1) $$ \boldsymbol{u}\text{ actúa en }\mathcal{D}(0, T)\text{ a través de la combinación }\langle \boldsymbol{u}, \phi\rangle = \int_0^T \boldsymbol{u}(t)\phi(t)\, dt,\text{ donde }\phi\in \mathcal{D}(0, T).$$ Observa que la función de prueba $\phi$ es de valores escalares. Por otro lado, usando la definición (2) $$ \boldsymbol{u}\text{ actúa en }\mathcal{D}(0, T; \mathbb{R}^n)\text{ a través de la combinación }\langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{\psi}\rangle = \int_0^T \boldsymbol{u}(t)\cdot \boldsymbol \psi(t)\, dt,\text{ donde }\boldsymbol\psi\in \mathcal{D}(0, T; \mathbb{R}^n).$$ Aquí, la función de prueba es de valores vectoriales y la combinación usa el producto punto de $\mathbb{R}^n$.

Nota.

Según unas notas de clase que encontré en línea parece que Laurent Schwartz eligió la definición (1).

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$^{[1]}$ En realidad, estoy haciendo trampa aquí. No sé si existe tal topología ni si es única. Solo estoy suponiendo que la construcción usual que funciona para las funciones de prueba de valores reales funciona aquí también.

Answer 1

Déjame elaborar en lo que quise decir.

Preliminares. Sea $X$ e $Y$ dos espacios vectoriales, su producto tensorial (algebraico) $X \otimes Y$ es el conjunto de todas las combinaciones formales $x \otimes y$, con $x \in X$ e $y \in Y$, donde el operador "$\otimes$" se asume que es bilineal. Alternativamente, puedes pensar en $X \otimes Y$ en términos de bases como el espacio generado por el producto de las bases de $X$ y $Y$.

La teoría de los productos tensoriales topológicos trata el siguiente problema: si $X$ e $Y$ son espacios de Banach/Fréchet, ¿existe una norma/un conjunto de normas en $X \otimes Y$ que sea "compatible" con las topologías de $X$ e $Y$? En ese caso, la "completación" (en el caso Banach o en espacios de Fréchet con normas contables) de $X \otimes Y$ con respecto a una norma tensorial $\alpha$ se denota por $X \otimes_\alpha Y$. De esas topologías de producto cruzado, la más burda se denota por $\epsilon$ (y es "inyectiva") y la más fina se denota por $\pi$ (y es "proyectiva"). Cuando un espacio de Fréchet $E$ cumple que sus productos tensoriales inyectivos y proyectivos coinciden, se dice que es nuclear. El espacio $D(\mathbb{R}^n)$ y su dual son ambos espacios nucleares.

La pregunta: Bueno, suficientes generalidades. Dados los espacios $X$, $Y$, el producto tensorial inyectivo satisface que la inclusión natural: $$ Y^\ast \otimes_\epsilon X \to \mathcal{B}(Y,X), $$ dada por enviar $y^\ast \otimes x$ al operador $z \mapsto \langle y^\ast, z\rangle x$ es una isometría (o un homeomorfismo lineal en su rango en el caso no Banach). La imagen del "isometría" anterior está formada por los mapeos generados por tensores finitos y contenidos dentro de los operadores compactos $\mathcal{B}_0(Y,X)$. La imagen es exactamente la de los operadores compactos si tanto $X$ como $Y$ tienen la propiedad de aproximación. Los espacios nucleares tienen la PA.

Ahora la parte específica de la pregunta. Aproxima el espacio $D(\mathbb{R}^n;X^\ast)$ usando particiones de la unidad, mediante tensores simples de la forma $$ \sum_{k = 1}^N \psi_k(x) \, x_k^\ast = \sum_{k = 1}^N \psi_k(x) \otimes x_k^\ast, $$ donde $x_k^\ast \in X^\ast$ y $\psi_k \in D(\mathbb{R}^n)$. Entonces, $D(\mathbb{R}^n;X^\ast) = D(\mathbb{R}^n) \otimes_\epsilon X^\ast$. Su dual, debido a la nuclearidad de $D$ y a la reflexividad de $X$, está dado por $$ D(\mathbb{R}^n;X^\ast)^\ast = \big( D(\mathbb{R}^n) \otimes_\epsilon X^\ast \big)^\ast = D'(\mathbb{R}^n) \otimes_\pi X^{\ast \ast} = D'(\mathbb{R}^n) \otimes_\epsilon X. $$ Pero, como hemos visto anteriormente, $D'(\mathbb{R}^n) \otimes_\epsilon X$ es solo un subconjunto de $\mathcal{B}(D(\mathbb{R}^n), X)$, los compactos. Por lo tanto, tu primera definición te da un espacio más grande y si deseas que sean iguales, necesitas cambiar:

$$\tag{1} \mathcal{D}^\star(0, T; X)=\left\{ u\colon \mathcal{D}(0,T)\to X\ \text{lineal y } \color{#c00}{\mathrm{continuo}} \right\} $$

por

$$\tag{1} \mathcal{D}^\star(0, T; X)=\left\{ u\colon \mathcal{D}(0,T)\to X\ \text{lineal y } \color{#c00}{\mathrm{compacto}} \right\} $$