Quiero recoger algunos resultados en los elíptica regularidad. El problema considero que es \begin{aligned} Lu&=f,&in\,\,\,U,\\ u&=g,&on\,\,\, \partial U.\tag{1} \end{aligned} donde $Lu:=a_{ij}(x)u_{x_ix_j}+b_i(x)u_{x_i}+c(x)u.$ es estrictamente una elíptica operador.
He sabido que el $C^{2,\alpha}$-regularidad de Gilbarg&Trudinger del libro y la $H^2$-regularidad de Evans'book. Ahora me pregunto que puede el $C^2$-regularidad también está disponible？Es decir，puede tomamos $\alpha=0$ $C^{2,\alpha}$- regularidad. Más precisamente，quiero dejar en claro que es el siguiente teorema válido？
TEOREMA ($C^2$-elípticas regularidad ) Deje $U$ $C^2$ delimitada de dominio, $g\in C^2(\bar U)$,$u\in C(\bar U)\cap C^2(U)$ es una solución clásica del problema de Dirichlet $(1)$ donde $a_{ij},b_i,c,f\in C(\bar U)$. A continuación,$u\in C^2(\bar U)$.
Además, también me pregunto la solvencia de $(1)$ en función del espacio de $C^2(\bar U)$.Es decir,es el siguiente teorema de existencia válida？
TEOREMA ($C^2$-existencia) Deje $U$ $C^2$ delimitada de dominio, $g\in C^2(\bar U)$, $c\leq 0$,$a_{ij},b_i,c,f\in C(\bar U)$. A continuación, el problema de Dirichlet $(1)$ tiene una única solución a $u\in C^2(\bar U)$.
Cualquier respuesta o de referencia se agradece! :)
