¿Proporciona el teorema de la función inversa un camino para la interpretación de cocientes infinitesimales más generales?

Question

Primero, recordemos el teorema de la función inversa: Si $y=f(x)$ y si $f'(x)$ existe en algún punto $x=a$, entonces existe en algún vecindario de $(a,f(a))$ una función inversa $f^{-1}(x)$ que alrededor del correspondiente $b = f(a)$, es diferenciable y esa diferencial satisface:

$$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$$

¿Podría esto llevar a un enfoque fructífero para definir el cociente infinitesimal recíproco a continuación:

$$\frac{\partial f^{-1}(y)}{\partial y}(b) = \frac{\partial x}{\partial f(x)}(a)$$

¿Nos llevaría a algo significativo, o tendríamos problemas si intentáramos hacerlo?

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Para contexto: Mi mente divaga a algún ejemplo $$\frac{\partial \sin(t)}{\partial \cos(t)}$$ que en coordenadas polares $x = \cos(t), y = \sin(t)$ e identidad trigonométrica podría interpretarse intuitivamente como la diferencial de la función que describe la parte superior del círculo unitario:

$$\frac{\partial \sqrt{1-x^2}}{\partial x}$$

Algo muy lejano pero interesante sería intentar encontrar un significado e interpretación a cosas como $$\frac{\partial g(t)}{\partial h(t)}$$

Answer 1

Si nos mantenemos con $\mathrm d$ en lugar de $\partial$, entonces hay poco problema con el manejo de variables únicas de esta manera. Definimos $\mathrm d (f(t))=f'(t)\mathrm dt$ (y de manera similar para cualquier otra variable), y luego el álgebra funciona bien para las derivadas de primer orden.

Por ejemplo: $$\dfrac{\mathrm{d}\sin t}{\mathrm{d}\cos t}=\dfrac{\cos t\,\mathrm{d}t}{-\sin t\,\mathrm{d}t}=-\cot t\text{.}$$ Y también tenemos, si $t\in[0,\pi]$ y dejamos $x=\cos t$: $$\dfrac{\mathrm{d}\sin t}{\mathrm{d}\cos t}=\dfrac{\mathrm{d}\sqrt{1-x^{2}}}{\mathrm{d}x}=\dfrac{-2x\,\mathrm dx}{2\sqrt{1-x^{2}}\,\mathrm dx}=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{-\cos t}{\sin t}=-\cot t\text{.}$$

Ahora, podría haber problemas con derivadas de segundo orden, pero también hay una solución para esto (básicamente, no escriba una segunda derivada como $\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx\vphantom{)}^2}$ si $x$ e $y$ podrían depender de alguna otra variable $t$). Los detalles se discuten en el artículo recientemente popular en internet "Extending the Algebraic Manipulability of Differentials" de Bartlett y Khurshudyan. Una versión se puede encontrar en arXiv en aquí y otra en el sitio de la revista "Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems" aquí.