Calcular la integral sin conocer el integrando

Question

¿Cómo puedo calcular esta integral?

$$\int_0^{2014} \frac{f(x)}{f(x) + f(2014 - x)}dx$$

Answer 1

Usando la sustitución $ x' = 2014 - x $, agregas las dos integrales, obtienes $ 2I = \displaystyle \int_0^{2014} \mathrm{d}x = 2014 \Rightarrow I = 1007 $

Answer 2

Tenga en cuenta que para $b=2014$, el objeto que desea es

$$W:=\int_0^b \frac{f(x)}{f(x)+f(b-x)} dx = \int_0^b \frac{f(x)+f(b-x)}{f(x)+f(b-x)} dx - \int_0^b \frac{f(b-x)}{f(x)+f(b-x)} dx\\ = b - \int_0^b \frac{f(b-x)}{f(x)+f(b-x)} dx.$$

Ahora, mediante una sustitución de $t=b-x$,

$$ \int_0^b \frac{f(b-x)}{f(x)+f(b-x)} dx = -\int_b^0 \frac{f(t)}{f(b-t)+f(t)} dt=\int_0^b \frac{f(t)}{f(t)+f(b-t)}dt. $$

Entonces, al sustituir eso en la primera ecuación obtenemos $W=b-W$, tal que $W=b/2$.