Comprendiendo la diferencia entre un límite distinguido y un límite 'normal' en varias variables complejas

Question

Estoy leyendo a través de Tasty Bits of Several Complex Variables y me encuentro con el término borde distinguido. Parece que un borde distinguido es diferente de un borde normal ya que el autor explica que este último tiene menos dimensiones que el anterior. Lo que también me confunde es la imagen del bidisco donde no puedo distinguir la diferencia entre el borde distinguido y el borde normal?

¿Es que el borde distinguido se ilustra como las líneas / bordes en negrita de la imagen y mientras que el borde no se puede representar completamente en un papel 2D? ¿Incluye el borde el área gris sombreada mientras que el borde distinguido no lo hace? Además, la unión del interior y el exterior del donut me confunde más.

Siento que estoy siendo miope aquí, ¿alguien puede corregir mi visión?

Answer 1

El diagrama es un intento de representar esquemáticamente algunos aspectos de la configuración completamente 4D haciendo un seguimiento solo de los valores absolutos de las dos coordenadas complejas. (Esto, por supuesto, suprime la coordenada angular de $z_1= r_1 e^{i \theta_1}$ y de igual manera para $z_2=r_2 e^{i \theta_2}$.) (Este truco está motivado por el hecho afortunado de que todas las piezas relevantes del rompecabezas pueden ser descritas por ecuaciones que involucran solo valores absolutos). El diagrama esquemático generalmente se llama imagen de espacio absoluto.

El par ordenado $(z_1, z_2)$ se representa esquemáticamente por $(|z_1|, |z_2|)$.

El borde distinguido es simplemente el producto cartesiano de dos círculos, $S^1\times S^1$ = $\{ |z_1|=1 \} \times \{ |z_2| =1\}$

lo cual en términos absolutos simplemente se representa por $(1,1)$. Nota que es el punto de esquina del cuadrado oscuro en el espacio absoluto.

En contraste, el borde normal u ordinario es la unión de dos partes, una de las cuales es $|z_1|<1 $ cruzada con $|z_2|=1$. En el espacio absoluto esta parte está representada por el segmento de línea superior oscuro. La otra parte es el segmento de línea vertical oscuro.