Si $G$ es cíclico, a continuación, $G/H$ es cíclico?

Question

Si $G$ es cíclica y, a continuación, $G/H$ es cíclico?

La prueba la tengo va como esto: $G$ es cíclico, $G=<g>$ algunos $g\in G$. Por lo que cualquier coset en $G/H$ sería de la forma $Hg'=Hg^n$ para algunos $n$. Por lo $Hg$ es un generador de $G/H$. Por lo tanto, $G/H$ es cíclico.

Yo sólo podría ser confuso para mí, pero sólo hemos demostrado que $Hg'$ es en forma de $(Hg)^n$. Pero ¿y si nos faltan algunos $n\in\mathbb{N}$? Es decir, no hay ningún grupo cociente de la forma $Hg^2$, por ejemplo.

Para hacer de mí un poco más claro, creo que lo que la anterior prueba que ha hecho demostraba que $\forall Hg'\in G/H, Hg'\in <Hg>$, lo $G/H \subset <Hg>$. Siento que esto no es una evidencia completa.

Answer 1

Como otras respuestas han señalado, el cociente de grupo es un grupo. Desde $G$, es cíclico, entonces cada elemento de a $G$ puede ser escrita en la forma $g^n$ algunos $n \in \mathbb{N}$. Por lo tanto, todos los cosets será de la forma $Hg^n$ algunos $n \in \mathbb{N}$, y puede llegar a $Hg^n$ por "multiplicar" (como se ha definido) $Hg$ sí $n$ veces. Creo que también es importante tener en cuenta que si $G/H$ es menor que $G$, entonces no va a ser, de hecho, algunos $n$ que falta, en un sentido: simplemente vamos a tener $Hg^n = Hg^m$ para un par de $n \neq m$. Pero este no será consecuencia de la anterior prueba.

Personalmente, no me gusta pensar acerca de cosets, aunque, así que aquí está, para su beneficio, toda una manera diferente de mirar este problema:

Si $H$ es un subgrupo de un grupo cíclico, a continuación, $H$ es necesariamente normal ya que cada subgrupo de un grupo abelian es normal*. Como tal, sabemos que existe un grupo de $G_1$ y un surjective grupo homomorphism $\phi:G \rightarrow G_1$ tal que $\ker(\phi) = H$. Desde el teorema de isomorfismo, sabemos que $G_1 \cong G/H$.

Así que ahora el problema se reduce a si la imagen homomórfica de un grupo cíclico es cíclico. Que es bastante inmediata: si $g$ genera $G$, $\phi(g)$ debe generar $G_1$. Para ver esto, considere la posibilidad de cualquier $a \in G_1$. A continuación, $a = \phi(g^n)$ algunos $n$, y más $\phi(g^n) = \phi(g)^n$.

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*De hecho, en general, $G/H$ es un grupo de $\iff H$ es normal. Hay muchas nociones equivalentes a la normalidad. Haga clic aquí para más discusión.

Answer 2

Uno puede hacer varios argumentos en el sentido de que $(Hg)^n$ es siempre un elemento de $G/H$. La más sencilla sería la de apelar al hecho de que el cociente de grupo es, de hecho, un grupo en particular, lo que significa que es cerrado bajo de los productos. Si $(Hg)^2$ no estaban en el cociente, sino $Hg$ era lo que iba a $Hg\cdot Hg$?

Más elementarily, sin embargo, el cociente de grupo $G/H$ está definido por mirar el cosets de $H$. Por lo $Hx$ es en el cociente grupo para cualquier $x$$G$ -, y así, desde $g^n$$G$, se deduce que el $Hg^n=(Hg)^n$$H$.

Answer 3

$G$ cíclico

$H \trianglelefteq G$

$G/H = \{aH: a \in G\}$

$\langle x \rangle = G$ donde $x \not = e$

$a = x^k \Rightarrow aH = x^kH = (xH)^k$

Esto era para arbitrario hace así.

Answer 4

Si $g'$ es cualquier elemento de un grupo de $G,$ e si $H$ es un subgrupo de $G$, $Hg$ es por definición un derecho coset de $H$ $G.$ Esto incluye el caso de que $g'=g^2$ algunos $g\in G,$, independientemente de si $G$ es cíclico o $H$ es un subgrupo normal de $G.$

Está casi listo, siempre y cuando se puede justificar sus reclamos.

Answer 5

En general homomorphism mapas cíclico grupo a subgrupo cíclico. Sabemos que el cociente homomorphism $\pi$ mapas de $G$ a $G/H$, es decir,$G/H=\pi(G)$. Así que si $G$ es cíclica y, a continuación, $G/H$ también debe ser cíclica.

No sé si esta es una forma más natural pensar acerca de esto...