¿Se puede dividir un triángulo en cuatro triángulos similares de tal forma que no todos sean congruentes entre sí?

Question

Entiendo que se puede dividir un triángulo en cuatro triángulos congruentes conectando los puntos medios de cada lado. ¿Puede cualquier triángulo NO EQUILÁTERO dividirse en cuatro triángulos similares con la restricción de que no todos los cuatro triángulos puedan ser congruentes entre sí? Mientras exploro esta pregunta, sigo encontrando callejones sin salida, y me pregunto si alguno de ustedes puede ayudar.

EDICIÓN: Ustedes revelaron que hay múltiples formas de hacer esto con triángulos rectángulos. He estado experimentando con un caso general y triángulos rectángulos, pero lo más cercano que he llegado es dividir el triángulo tres veces (en el triángulo ABC, dibujando una línea desde el ángulo BAC que sea perpendicular al lado BC, llamando al punto de intersección en la línea BC Punto D, luego dibujando líneas desde los ángulos ADB y ADC para que sean perpendiculares a las líneas AB y AC, respectivamente) pero no puedo demostrar que los triángulos dentro de ACD son similares a los triángulos dentro de ABD a menos que todos estén dentro de un triángulo rectángulo. ¿Cómo proceder?

Answer 1

Para obtener tal figura para un triángulo dado $\triangle ABC$ con ángulos $\alpha,\beta,\gamma$ donde $|BC|\ne|CA|$ (y por lo tanto $\alpha\ne\beta$),

• sea $F$ la intersección de la paralela a $AB$ que pasa por $C$ y la paralela a $BC$ que pasa por $A$ (por lo tanto $AFBC$ es un paralelogramo),
• construya la recta $\ell$ como tangente al circuncírculo de $ABC$ en $C$,
• sea $D$ la intersección de $\ell $ y $AC$,
• sea $E$ la intersección de $\ell$ y $BF$.

Tenemos

• $\angle ABF = \angle BAC=\alpha$ (ángulos alternos ya que $FB\|AC$)
• $\angle FAB = \angle CBA=\beta$ (ángulos alternos ya que $FA\|BC$)
• $\angle BCE =\angle BAC=\alpha$ (teorema del ángulo inscrito / teorema cuerda-tangente)
• $\angle CAD =\pi-\angle FAC=\pi-(\alpha+\beta)=\gamma$ (ángulo suplementario y suma de ángulos en un triángulo)
• $\angle EBC=\pi-\angle CBF=\pi-(\alpha+\beta)=\gamma$ (ángulo suplementario y suma de ángulos en un triángulo)
• $\angle DCA = \pi-\angle ACE=\pi-(\alpha+\gamma)=\beta$ (ángulo suplementario y suma de ángulos en un triángulo)
• $\angle ADC=\alpha$ (suma de ángulos en un triángulo)
• $\angle CEB=\beta$ (suma de ángulos en un triángulo)
• $\angle BFA=\gamma$ (suma de ángulos en un triángulo)

Así que los triángulos $ABC$, $DCA$, $CEB$, $BAF$, $DEF$ son todos similares. Pero no son todos congruentes: Al comparar los lados opuestos al ángulo $\alpha$, encontramos $$ {\triangle DCA}:{\triangle ABC}=|CA|:|BC|\ne 1:1$$

Finalmente, para dividir el triángulo $\triangle ABC$ en lugar de extenderlo, solo necesitamos realizar una transformación de similitud que mapee $\triangle DEF$ a $\triangle ABC$.

Answer 2

El dibujo explica cómo hacerlo.

Hay al menos tres soluciones diferentes. No solicitaste una prueba, así que simplemente demostré una posible solución

Answer 3

Para un triángulo isósceles rectángulo, biseca su ángulo recto. Selecciona uno de los triángulos más pequeños formados y biseca ese ángulo recto. Haz nuevamente el último paso. QEF (Latín, lo que se debía hacer).