¿Qué significa realmente "discreto", en español?

Question

¿Alguien puede explicar qué significa realmente una función "discreta" en un sentido filosófico, en un inglés sencillo?

¿Como suposición, ¿significa discreto que solo hay puntos con valores conocidos y nada en medio? Y si es así, ¿es posible realmente saber qué hay en medio de los puntos de alguna manera?

Digo, la interpolación lineal sería "falsearlo" por supuesto, simplificando una curva a una serie de líneas. ¿Quizás la interpolación polinómica?

¿Hay alguna forma de representar con un 100% de precisión lo que iría entre los puntos?

Por cierto, ¿no son todos los valores calculados "discretos"? Es decir, cuando la calculadora gráfica, o desmos.com o lo que sea, traza un gráfico, ¿no está realmente trazando una serie de valores de salida de una ecuación, solo en incrementos lo suficientemente pequeños como para que no puedas ver las brechas?

Entonces, lo que estoy preguntando es, ¿hay realmente una diferencia más profunda y fundamental entre una función discreta como

y_0 = 10
y_(i+1) = C/2 + y_i

vs una función "regular" como

y = x

¿o es simplemente una cuestión de patrones similares que se representan de manera diferente por la computadora? Porque ambas funciones pueden continuar para siempre. Y aunque la primera avanza en "pasos" discretos, el patrón que representa debe existir a una escala más pequeña, tal vez simplemente no "capturado" por la "lente" de esta ecuación? No sé.

Answer 1

Un conjunto discreto en un espacio métrico u otro espacio topológico, como la recta o el plano o el espacio euclidiano tridimensional $3$, es un espacio en el que cada punto está (topológicamente) aislado, lo que significa que cada punto en el conjunto tiene un vecindario abierto que no contiene otros puntos en el conjunto.

Por ejemplo, el conjunto de enteros $\{0,\pm1,\pm2,\pm3,\ldots\}$ es discreto porque alrededor de cada entero, digamos por ejemplo $5,$ se puede encontrar un intervalo abierto, digamos $(5-0.1,5+0.1),$ que no contiene ningún otro entero.

Y el conjunto $\left\{ \tfrac 1 n : n=1,2,3,\ldots\right\}$ es discreto, pero si se agrega el punto límite $0,$ obteniendo $\left\{ \tfrac 1 n : n=1,2,3,\ldots\right\} \cup\{0\},$ eso no es discreto porque $0$ es un punto límite en lugar de un punto aislado. En otras palabras, no importa cuán pequeño sea el intervalo abierto que consideres que contiene a $0,$ ese intervalo también contiene otros miembros del conjunto.

Una distribución de probabilidad discreta es aquella que consiste completamente en masas puntuales. Así que si una variable aleatoria (mayúscula) $X$ tiene la propiedad de que $\sum_x \Pr(X=x)=1,$ donde la suma es sobre todos los valores (minúscula) $x$ que la variable aleatoria (mayúscula) $X$ podría igualar.

Answer 2

Hay muchos tipos diferentes de infinito. El infinito más pequeño son los números naturales, $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots \}$. Llamamos a su tamaño $\omega$.

Muchos conjuntos tienen el mismo tamaño que $\mathbb{N}$. Por ejemplo, el conjunto de números pares también tiene tamaño $\omega$, al igual que el conjunto de números primos, o el de pares de números.

Intuitivamente, podrías pensar que esto no tiene sentido. ¿No hay la mitad de números pares que números naturales? ¿No hay muchos más pares de números?

Matemáticamente, dos conjuntos son del mismo tamaño si puedes emparejar sus elementos de manera que ningún elemento de ninguno de los conjuntos quede solo. En otras palabras, si tomas un conjunto infinito y puedes contar sus elementos, como $1, 2, 3, \dots$, y te aseguras de que cada elemento aparezca en algún momento en esta cuenta, entonces el tamaño de este conjunto es $\omega$.

Llamamos discreto (también, contable) a un conjunto que no es más grande que $\mathbb{N}$ - sus elementos se pueden contar.

Existen, sin embargo, infinitos mayores que $\omega$. Un ejemplo de esto es el conjunto de números reales. Se ha demostrado que, sin importar cómo intentes emparejar números reales con naturales, siempre habrá números reales sobrando. Como tal, la recta real no es discreta.

Los ejemplos que tienes con el conjunto de puntos que tienes son complicados. Hay muchos conjuntos discretos diferentes.

Supongamos que trabajamos con enteros. Entonces, solo tenemos enteros, y nada entre ellos.

Sin embargo, existen números racionales - fracciones. Las fracciones también son discretas, ya que son esencialmente pares de enteros - numerador y denominador. Sin embargo, entre cualquier par de fracciones hay más fracciones - un número infinito contable de ellas, de hecho. Aun así, los números irracionales simplemente no están ahí.

Si te interesa lo que sucede en toda la recta real, incluso en puntos irracionales - entonces, para todos los propósitos, ya no estás trabajando en un conjunto discreto.

Answer 3

Cuando recopilamos datos, los datos son discretos. Tenemos un número finito de observaciones. Luego podríamos ajustar esos datos a una curva continua para modelar esos datos. Vale la pena tener en cuenta que TODOS los datos tienen un margen de error. ¿Es posible saber dónde están realmente alguno de los puntos? No solo los puntos interpolados, sino cualquiera de los puntos.

Las matemáticas funcionan en un mundo idealizado que no es el mundo real. Estamos trabajando con objetos puramente matemáticos. Las curvas son continuas debido a cómo hemos definido la curva. Para cada x en un intervalo, existe un y. Ya sea que elijamos calcular explícitamente esos valores de y o no, ahí están. Aunque el software de gráficos solo represente finitamente muchos puntos, el software es una simulación de un mundo matemático más profundo.

Answer 4

Fue el mismo problema cuando me encontré con esta palabra "Discreto". Busqué mucho pero no encontré respuesta. Esta palabra tiene muchos significados según el contexto pero aquí hablaré sobre el tema del Conteo.

Pero, por casualidad leí un artículo sobre datos discretos y obtuve mi respuesta.

Discreto es un adjetivo que puedes darle a una cosa/objeto cuando quieres hacer que esa cosa sea Irrompible o Indivisible (cosa completa)...

ej: ¿Cuántos estudiantes hay en la clase? Supongamos que son 5, así que son 5 y no puede ser 4.5 porque esa es la verdad. Así que una persona es una cosa discreta porque es Irrompible o Indivisible, entonces solo hay una forma de contar a los 5 estudiantes. Y por supuesto podemos lidiar con varias cosas discretas no importa mientras sea Irrompible o Indivisible. La idea aquí es sobre "Discreto".

Por cierto, si quisieras hacer que un estudiante sea rompible o divisible, entonces este estudiante no es discreto. Así que tenemos un rango ilimitado de valores para contar los estudiantes como 4.3, 4.8, 4.1, etc. Y llamamos a eso valores continuos.

En números, hay 2 casos dependiendo de lo que necesites. si quieres manejar números como números Irrompibles o Indivisibles entonces esos números son discretos de lo contrario son continuos como expliqué antes.

En Matemáticas Discretas, se llama discreto porque trata con cosas/objetos Irrompibles o Indivisibles incluso si esas cosas pueden ser rompibles o divisibles como los números pero se tratan como números discretos. Así que, en Matemáticas Discretas, tenemos por ejemplo un nodo en un gráfico y este nodo es discreto por lo que no puede ser medio nodo.

Gracias.